## 特殊矩陣 (15)：Pascal 矩陣 (上)

$\displaystyle (x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$

$\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$

$\begin{array}{ccccccccccccc} &&& &&& 1&&&&&&\\ &&&&& 1 & & 1 &&&&&\\ &&&& 1 & & 2 & & 1 &&&&\\ &&&1 && 3 && 3&& 1 &&&\\ &&1&& 4&&6&&4&&1&&\\ &1&&5&&10&&10&&5&&1&\\ 1&&6&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$

$\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix},~\begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1 \end{bmatrix},~\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&2&1 \end{bmatrix},~\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ 1&2&1&0\\ 1&3&3&1 \end{bmatrix}$

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1 \end{bmatrix}^{-1}&=\left[\!\!\begin{array}{rc} 1&0\\ -1&1 \end{array}\!\!\right],\\ \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&2&1 \end{bmatrix}^{-1}&=\left[\!\!\begin{array}{rrc} 1&0&0\\ -1&1&0\\ 1&-2&1 \end{array}\!\!\right],\\ \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ 1&2&1&0\\ 1&3&3&1 \end{bmatrix}^{-1}&=\left[\!\!\begin{array}{rrrc} 1&0&0&0\\ -1&1&0&0\\ 1&-2&1&0\\ -1&3&-3&1 \end{array}\!\!\right];\end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} (PQ)_{ij}&=\sum_{k=0}^{l}p_{i,j+k}q_{j+k,j}=\sum_{k=0}^{l}p_{j+l,j+k}q_{j+k,j}\\ &=\sum_{k=0}^{l}\binom{j+l-1}{j+k-1}(-1)^{2j+k}\binom{j+k-1}{j-1}\\ &=\sum_{k=0}^{l}\frac{(j+l-1)!}{(j+k-1)!(l-k)!}\frac{(j+k-1)!}{(j-1)!k!}(-1)^k\\ &=\sum_{k=0}^l\frac{(j+l-1)!}{(l-k)!(j-1)!k!}(-1)^k\\ &=\frac{(j+l-1)!}{(j-1)!l!}\sum_{k=0}^l\frac{l!}{(l-k)!k!}(-1)^k\\ &=\binom{j+l-1}{j-1}\sum_{k=0}^l\binom{l}{k}(-1)^k\\ &=\binom{i-1}{j-1}\sum_{k=0}^l\binom{l}{k}(1)^{l-k}(-1)^k\\ &=\binom{i-1}{j-1}(1+(-1))^l=0,\end{aligned}

$P(t)=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ t&1&0&0\\ t^2&2t&1&0\\ t^3&3t^2&3t&1 \end{bmatrix}$

$P(k)=P(1)P(k-1)$

\begin{aligned} P(k)&=P(1)P(k-1)=P(1)(P(1)P(k-2))=(P(1))^2P(k-2)=\cdots\\ &=(P(1))^kP(0)=P^kI=P^k;\end{aligned}

$\displaystyle \frac{d}{dt}P(t)=\frac{d}{dt}e^{Ht}=He^{Ht}=HP(t)$

$\displaystyle \left.\frac{d}{dt}P(t)\right|_{t=0}=HP(0)=HI=H$

$\displaystyle \frac{d}{dt}P(t)=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 2t&2&0&0\\ 3t^2&6t&3&0 \end{bmatrix}$

$\displaystyle H=\left.\frac{d}{dt}P(t)\right|_{t=0}=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0 \end{bmatrix}$

$H^2=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 2&0&0&0\\ 0&6&0&0 \end{bmatrix},~H^3=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 6&0&0&0 \end{bmatrix},~H^4=0,$

$\displaystyle e^{Ht}=I+tH+\frac{t^2}{2!}H^2+\cdots+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}H^{n-1}$

$\displaystyle (e^{Ht})_{ij}=\frac{t^k}{k!}(H^k)_{ij}=t^{k}\frac{(i-1)!}{(i-j)!(j-1)!}=t^{i-j}\binom{i-1}{j-1}=(P(t))_{ij}$

$P(s)P(t)=e^{Hs}e^{Ht}=e^{H(s+t)}=P(s+t)$

$(P(t))^{-1}=(e^{Ht})^{-1}=e^{-Ht}=P(-t)$

$P^{1/2}=P(1/2)=\left[\!\!\begin{array}{rrrc} 1&0&0&0\\ 1/2&1&0&0\\ 1/4&1&1&0\\ 1/8&3/4&3/2&1 \end{array}\!\!\right],~~P^{1/3}=P(1/3)=\left[\!\!\begin{array}{rrcc} 1&0&0&0\\ 1/3&1&0&0\\ 1/9&2/3&0&0\\ 1/27&1/3&1&1 \end{array}\!\!\right]$

$t=1$，帕斯卡矩陣可表示成矩陣指數：$P=e^H$，所以 $H$ 也稱為創造 (creation) 矩陣或衍生 (derivation) 矩陣。下文將繼續探討帕斯卡矩陣 $P$ 與創造矩陣 $H$ 的其他相關性質。

[1] G. Call and D. Velleman, Pascal’s matrices, The American Mathematical Monthly, Vol. 100, No. 4, 1993, pp 372-376.

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### 1 則回應給 特殊矩陣 (15)：Pascal 矩陣 (上)

1. suehang 說：

杨辉三角形的矩阵分析,很有意思,之前未见人做过,学习!