自由振動系統的特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級：中級

公元1940年7月1日美國華盛頓州的塔科馬海峽懸索橋 (Tacoma Narrows Bridge) 正式啟用通車。不到數星期，橋面便開始上下擺動，其後擺動幅度不斷增加，工程人員嘗試加建纜索與液壓緩衝裝置企圖減低波動，但均未見成效。啟用四個月後，同年11月7日上午，橋身扭動愈發劇烈，最後橋面於數分鐘內陸續坍塌^[1](見圖一，YouTube影片紀錄坍塌實況)。

圖一塔科馬海峽懸索橋坍塌 From http://www.lib.washington.edu/specialcollections/collections/exhibits/tnb/images/fall7b

塔科馬海峽懸索橋坍塌的原因為其橋面厚度不足，在受到強風的吹襲下引起卡門渦街 (Kármán vortex street)，使橋身不斷晃動。當卡門渦街的振動頻率和吊橋自身的固有頻率 (即自由振動時的頻率，亦稱自然頻率) 相同時，遂引起橋身共振終至崩塌。所謂共振是指在特定頻率下，一物理系統以最大振幅振動，此特定頻率即稱為共振頻率。當阻尼 (damping) 很小時，共振頻率大約等於系統固有頻率。(台北101大樓擁有全球最大的抗風阻尼器，見 “如何幫大樓抗風防震？淺談台北101大樓阻尼器”。) 下面是維基百科關於卡門渦街的介紹以及塔科馬海峽懸索橋坍塌的解釋^[2]：

在流體中安置阻流體，在特定條件下會出現不穩定的邊界層分離，阻流體下游的兩側會產生兩道非對稱地排列的旋渦，其中一側的旋渦循時針方向轉動，另一旋渦則反方向旋轉，這兩排旋渦相互交錯排列，各個旋渦和對面兩個旋渦的中間點對齊，如街道兩邊的街燈般 (見維基百科)，這種現象因匈牙利裔美國空氣動力學家馮•卡門 (Theodore von Kármán，1881-1963) 最先從理論上闡明而得名卡門渦街。

卡門渦街可能引起建築物倒塌。…塔科馬海峽吊橋倒塌後第二天，華盛頓州州長宣布該座吊橋的設計牢靠，計劃按同樣設計重建。馮•卡門覺得此事不妥，便覓來一個塔科馬海峽吊橋模型帶回家中，放在書桌上，開動電扇吹風，模型開始振動起來，當振動頻率達到模型的固有頻時，發生共振，模型振動劇烈。果然不出所料，塔科馬海峽吊橋倒塌事件的元兇，正是卡門渦街引起橋樑共振。其後馮•卡門令助手在加州理工學院風洞內，進一步測試塔科馬海峽吊橋模型，取得數據，然後發一份電報給華盛頓州州長：「如果按舊設計重建一座新橋，那座新橋會一模一樣的倒塌」。州長設立一個塔科馬海峽吊橋倒塌事件考察小組，馮•卡門系成員之一。經一番爭論，馮•卡門終於說服當時不懂空氣動力學知識的橋樑設計師，在建新橋之前，先將橋樑模型進行風洞測試。會議決定採用新的設計避免卡門渦街對橋樑引起的禍害。

本文介紹自由振動系統的特徵值與特徵向量，目的在顯現其物理涵義：在多自由度的自由振動系統中，固有頻率由系統的特徵值決定，而振型 (mode shape) 則由對應的特徵向量決定。

我們先討論簡單諧振子 (simple harmonic oscillator) 問題。見圖二，一緊密物體質量為 $m>0$ 在無摩擦力的水平面滑動。假設彈簧一端連接該物體，另一端固定於牆面上。令 $x(t)$ 表示彈簧於時間 $t$ 的伸展長度。當彈簧處於穩定平衡狀態時，物體未受任何水平力，故保持靜止不動。設 $x(t)=0$ 代表靜止物體的中心位置，因此 $x(t)$ 也可以看成物體的水平座標。若物體向右移動位置， $x(t)>0$ ，如圖二所示方向，物體將受彈簧伸長所產生的水平回復力 (即彈力) 作用，以使系統趨向回復平衡狀態。

圖二單一物體的振動系統

在彈簧形變不大的情況下，虎克定律 (Hooke’s law) 給出彈力與彈簧伸縮長度之間的線性關係：

$f(x)=-kx$ ，

其中 $k>0$ 為彈力常數，由彈簧材質決定，上式負號表示彈簧所產生的彈力 $f(x)$ 與其伸長 (或壓縮) 的方向相反。根據牛頓第二運動定律，物體受彈力產生加速度 $\ddot{x}\equiv d^2x/dt^2$ ，於是得到描述物體振動的簡單諧振子方程：

$m\ddot{x}=-kx$ 。

因為指數函數具微分不變性，我們猜測常微分方程的解為 $x(t)=ue^{at}$ 。計算出 $\ddot{x}=a^2ue^{at}=a^2x$ ，也就有 $ma^2x=-kx$ ，比較等號兩邊即得 $a^2=-\frac{k}{m}$ ，所以 $a=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}$ ，其中 $i=\sqrt{-1}$ 。令 $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ ， $x(t)$ 可表示為特解 $e^{i\omega t}$ 和 $e^{-i\omega t}$ 的線性組合：

$x(t)=\alpha_1e^{i\omega t}+\alpha_2e^{-i\omega t}$ 。

因為 $x(t)$ 是一實函數，就有 $\overline{x(t)}=x(t)$ ，由此推知 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 是共軛複數，即 $\alpha_2=\overline{\alpha_1}$ 。令 $\alpha_1=\frac{1}{2}(c_1-ic_2)$ ， $c_1,c_2$ 是實數，利用歐拉公式 $e^{\pm i\theta}=\cos\theta\pm i\sin\theta$ 可得

$\displaystyle\begin{aligned} x(t)&=\frac{1}{2}(c_1-ic_2)e^{i\omega t}+\frac{1}{2}(c_1+ic_2)e^{-i\omega t}\\ &=\frac{1}{2}(c_1-ic_2)(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))+\frac{1}{2}(c_1+ic_2)(\cos(\omega t)-i\sin(\omega t))\\ &=c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)\\ &=\hat{c}\cos(\omega t-\phi),\end{aligned}$

其中 $\hat{c}=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$ 表示振幅， $\phi=\tan^{-1}(c_2/c_1)$ 為相位差，係數 $c_1$ 和 $c_2$ 則由初始位置 $x(0)$ 和速度 $\dot{x}(0)$ 決定：

$\displaystyle c_1=x(0),~~c_2=\frac{\dot{x}(0)}{\omega}$ 。

簡單諧振子以物體的均衡位置為中心，在 $x=a$ 和 $x=-a$ 之間以 $T=2\pi/\omega$ 週期 (頻率為 $f=1/T$ ) 的諧波形式振盪。從角頻率公式 $\omega=2\pi f=\sqrt{\frac{k}{m}}$ 立知當物體質量越小或彈力常數越大，系統會產生越高的振動頻率。

為理解塔科馬海峽懸索橋的共振擺動，接下來我們探討包含兩物體的自由振動系統。見圖三，考慮質量同為 $m$ 的兩個緊密物體，彼此間由一彈簧連接 (彈力常數為 $k_2$ )，且兩物體各自連接至一端固定於牆面的彈簧 (彈力常數同為 $k_1$ )。令 $x_1=0$ 和 $x_2=0$ 表示兩物體的平衡穩定位置，並令向右位移為正。

圖三兩物體的振動系統

圖三顯示左中右三個彈簧的伸長量分別為 $x_1$ ， $x_2-x_1$ ， $-x_2$ 。因為物體各自受左右兩個彈簧作用，可得下列方程：

$\begin{aligned} m\ddot{x}_1&=-k_1x_1+k_2(x_2-x_1)=-(k_1+k_2)x_1+k_2x_2\\ m\ddot{x}_2&=-k_2(x_2-x_1)+k_1(-x_2)=k_2x_1-(k_1+k_2)x_2.\end{aligned}$

合併為常微分矩陣方程，如下：

$\begin{bmatrix} \ddot{x}_1\\ \ddot{x}_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{k_1+k_2}{m}&-\frac{k_2}{m}\\[0.5em] -\frac{k_2}{m}&\frac{k_1+k_2}{m} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$ ，

或簡明表示成

$\ddot{\mathbf{x}}+A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，

上式中 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}$ ， $A=\left[\!\!\begin{array}{rr} a&-b\\ -b&a \end{array}\!\!\right]$ 是實對稱矩陣，其中 $a=\frac{k_1+k_2}{m}$ ， $b=\frac{k_2}{m}$ 。

由簡單諧振子方程解的形式，我們猜測上面二階微分方程解為 $\mathbf{x}(t)=\mathbf{u}e^{i\omega t}$ 。微分立得 $\ddot{\mathbf{x}}=-\mathbf{u}\omega^2e^{i\omega t}=-\omega^2\mathbf{x}$ ，也就有

$A\mathbf{x}=\omega^2\mathbf{x}$ ，

這指出 $\omega^2$ 正是 $A$ 的特徵值，故 $\omega$ 又稱為固有頻率 (特徵值也稱為固有值)。寫出 $A$ 的特徵多項式

$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} a-\lambda&-b\\ -b&a-\lambda \end{vmatrix}=(a-\lambda)^2-b^2$ 。

令上式為零，解出特徵值

$\displaystyle \lambda_1=a+b=\frac{k_1+2k_2}{m},~~\lambda_2=a-b=\frac{k_1}{m}$ 。

所以固有頻率為 $\omega_1=\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}$ 和 $\omega_2=\sqrt{\frac{k_1}{m}}$ ，而對應的特徵向量給出兩種振型：

$\mathbf{u}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\!\!\right],~~\mathbf{u}_2=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 。

兩物體的運動軌跡 $\mathbf{x}(t)$ 可表示成四個特解 $\mathbf{u}_1e^{\pm i\omega_1 t}, \mathbf{u}_2e^{\pm i\omega_2 t}$ 的線性組合：

$\mathbf{x}(t)=\alpha_{1}\mathbf{u}_1e^{i\omega_1t}+\alpha_{2}\mathbf{u}_1e^{-i\omega_1t}+\beta_1\mathbf{u}_2e^{i\omega_2t}+\beta_2\mathbf{u}_2e^{-i\omega_2t}$ 。

因為 $\mathbf{x}(t)$ 是實向量，推論 $\alpha_2=\overline{\alpha_1}$ ， $\beta_2=\overline{\beta_1}$ ，運用類似簡單諧振子的運算過程，可得

$\mathbf{x}(t)=c_{11}\mathbf{u}_1\cos(\omega_1 t)+c_{12}\mathbf{u}_1\sin(\omega_1t)+c_{21}\mathbf{u}_2\cos(\omega_2t)+c_{22}\mathbf{u}_2\sin(\omega_2t)$ ，

其中 $c_{11}, c_{12}, c_{21}, c_{22}$ 皆是實數。當 $t=0$ ，

$\begin{aligned} \mathbf{x}(0)&=c_{11}\mathbf{u}_1+c_{21}\mathbf{u}_2,\\ \dot{\mathbf{x}}(0)&=\omega_1c_{12}\mathbf{u}_1+\omega_2c_{22}\mathbf{u}_2,\end{aligned}$

故組合係數 $c_{11}$ 和 $c_{21}$ 由物體的初始位置 $\mathbf{x}(0)$ 決定， $c_{12}$ 和 $c_{22}$ 則由初始速度 $\dot{\mathbf{x}}(0)$ 決定，如下：

$\displaystyle c_{11}=\frac{1}{2}(x_1(0)-x_2(0)),~~c_{21}=\frac{1}{2}(x_1(0)+x_2(0)),$

$\displaystyle c_{12}=\frac{1}{2\omega_1}(\dot{x}_1(0)-\dot{x}_2(0)),~~c_{22}=\frac{1}{2\omega_2}(\dot{x}_1(0)+\dot{x}_2(0))$ 。

為方便說明，假設兩物體在 $t=0$ 是靜止的， $\dot{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{0}$ ，則 $c_{12}=c_{22}=0$ ，即得

$\mathbf{x}(t)=c_{11}\mathbf{u}_1\cos(\omega_1 t)+c_{21}\mathbf{u}_2\cos(\omega_2t)$ 。

兩物體的實際振動行為完全由初始位置決定，特徵向量 $\mathbf{u}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ 和 $\mathbf{u}_2=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 代表兩種振型：(1) 若 $\mathbf{x}(0)=r\mathbf{u}_1$ ，則 $c_{11}=r$ 且 $c_{21}=0$ ，故 $\mathbf{x}(t)=r\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]\cos(\omega_1 t)$ ，這時兩物體的振動頻率為 $\omega_1$ ，相位差為 $\pi$ ；(2) 若 $\mathbf{x}(0)=r\mathbf{u}_2$ ，則 $c_{11}=0$ 且 $c_{21}=r$ ，故 $\mathbf{x}(t)=r\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\cos(\omega_2 t)$ ，這時兩物體的振動頻率為 $\omega_2$ ，無相位差。

最後我們展示幾種不同初始情況下的振動行為。設 $k_1=k_2=m=1$ ，則 $\omega_1=\sqrt{3}$ 且 $\omega_2=1$ 。若 $x_1(0)=1$ 且 $x_2(0)=-1$ ，則 $x_1(t)=\cos(\sqrt{3}t)$ ， $x_2(t)=-\cos(\sqrt{3}t)$ ，第一振型 (固有頻率 $\sqrt{3}$ ) 被激發，但第二振型 (固有頻率 $1$ ) 則未被激發。圖四(a)顯示初始值為 $x_1(0)=1$ ， $x_2(0)=-0.8$ 的振動軌跡。圖中藍線代表 $x_1$ ，紅線代表 $x_2$ 。

圖四(a) 初始值：x1=1, x2=-0.8

若 $x_1(0)=1$ 且 $x_2(0)=1$ ，則 $x_1(t)=x_2(t)=\cos(t)$ ，第二振型被激發，但第一振型則未被激發。圖四(b)顯示初始值為 $x_1(0)=1$ ， $x_2(0)=0.8$ 的振動軌跡。

圖四(b) 初始值：x1=1, x2=0.8

最後舉一個比較複雜的情況。若 $x_1(0)=1$ 且 $x_2(0)=0$ ，則 $x_1(t)=0.5\cos(\sqrt{3}t)+0.5\cos(t)$ ， $x_2(t)=-0.5\cos(\sqrt{3}t)+0.5\cos(t)$ ，第一和第二振型同時被激發，圖四(c)顯示初始值為 $x_1(0)=1$ ， $x_2(0)=0.1$ 的振動軌跡。

圖四(c) 初始值：x1=1, x2=0.1

引用來源：
[1] 維基百科：塔科馬海峽吊橋
[2] 維基百科：卡門渦街

4 Responses to 自由振動系統的特徵值與特徵向量

leonyo says:

03/31/2017 at 8:07 pm

文中 “如何幫大樓抗風防震？淺談台北101大樓阻尼器” 的超連結好像已經失效
搜尋到的新連結如下
http://www.ntuce-newsletter.tw/vol.21/101damper-1.html

- ccjou says:
  
  03/31/2017 at 8:25 pm
  
  謝謝，已更新。
  
陳兆洋 says:

11/09/2018 at 1:07 am

$ latex \displaystyle\begin{aligned}
x(t)&=\frac{1}{2}(c_1-ic_2)e^{i\omega t}+\frac{1}{2}(c_1+ic_2)e^{-i\omega t}\\
&=\frac{1}{2}(c_1-ic_2)(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))+\frac{1}{2}(c_1+ic_2)(\cos(\omega t)-i\sin(\omega t))\\
&=c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)\\
&=\hat{c}\cos(\omega t-\phi),\end{aligned}&fg=000000$

海棠 says:

12/04/2018 at 10:26 am

請問被激發是啥意思??我不太懂

	陳倍恩 on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	輕鬆談如何教學二項式定理？… on 牛頓的二項式定理 (上)
	madhouse on 高斯消去法
	WishMobile on 翻轉 LU 分解
	周子傑 on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件
	Cloud Huang on 線性泛函與伴隨