## 利用行列式計算多邊形面積

$\displaystyle a=\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix} x_0&x_1\\ y_0&y_1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{vmatrix}+\cdots+\begin{vmatrix} x_{n-2}&x_{n-1}\\ y_{n-2}&y_{n-1} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_{n-1}&x_0\\ y_{n-1}&y_0 \end{vmatrix}\right)$

$\displaystyle a=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_0&x_1&x_2&\cdots&x_{n-2}&x_{n-1}&x_0\\ y_0&y_1&y_2&\cdots&y_{n-2}&y_{n-1}&y_0 \end{vmatrix}$

$\begin{matrix} x_0 & ~ & x_1 & ~ & x_2 & \cdots & x_{n-1} & & x_{0} \\ ~ & \times & & \times & & & & \times & ~ \\ y_0 & ~ & y_1 & ~ & y_2 & \cdots & y_{n-1} & & y_{0} \end{matrix}$

$\mathbf{u}=\begin{bmatrix} x_1-x_0\\ y_1-y_0 \end{bmatrix},~\mathbf{v}=\begin{bmatrix} x_2-x_0\\ y_2-y_0 \end{bmatrix}$

$\displaystyle \det\begin{bmatrix} \mathbf{u}&\mathbf{v} \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} x_1-x_0&x_2-x_0\\ y_1-y_0&y_2-y_0 \end{vmatrix}$

$\displaystyle a=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1-x_0&x_2-x_0\\ y_1-y_0&y_2-y_0 \end{vmatrix}$

\begin{aligned} \begin{vmatrix} x_1-x_0&x_2-x_0\\ y_1-y_0&y_2-y_0 \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} x_1&x_2-x_0\\ y_1&y_2-y_0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -x_0&x_2-x_0\\ -y_0&y_2-y_0 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_1&-x_0\\ y_1&-y_0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -x_0&x_2\\ -y_0&y_2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -x_0&-x_0\\ -y_0&-y_0 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} x_1&x_0\\ y_1&y_0 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} x_0&x_2\\ y_0&y_2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_0&x_0\\ y_0&y_0 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_0&x_1\\ y_0&y_1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_2&x_0\\ y_2&y_0 \end{vmatrix},\end{aligned}

$\displaystyle a=\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix} x_0&x_1\\ y_0&y_1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_2&x_0\\ y_2&y_0 \end{vmatrix}\right)$

\displaystyle \begin{aligned} a&=\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix} x_0&x_1\\ y_0&y_1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_2&x_0\\ y_2&y_0 \end{vmatrix}\right)\\ &+\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix} x_2&x_3\\ y_2&y_3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_3&x_4\\ y_3&y_4 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_4&x_2\\ y_4&y_2 \end{vmatrix}\right)\\ &+\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix} x_4&x_0\\ y_4&y_0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_0&x_2\\ y_0&y_2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_2&x_4\\ y_2&y_4 \end{vmatrix}\right),\end{aligned}

$\displaystyle a=\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix} x_0&x_1\\ y_0&y_1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_2&x_3\\ y_2&y_3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_3&x_4\\ y_3&y_4 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_4&x_0\\ y_4&y_0 \end{vmatrix}\right)$

[1] 行列式僅定義於方陣，何不也定義非方陣的行列式？譬如，根據測量員公式，為何不將 $2\times 3$ 階矩陣的行列式定義為

$\begin{vmatrix} x_0&x_1&x_2\\ y_0&y_1&y_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_0&x_1\\ y_0&y_1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_2&x_0\\ y_2&y_0 \end{vmatrix}$

\begin{aligned} 1&=\begin{vmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{vmatrix}=\det(A^TA)=d(A^TA)=d(A^T)d(A)\\ &=d(A)d(A^T)=d(AA^T)=\det(AA^T)=\begin{vmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{vmatrix}=0. \end{aligned}

[2] 利用餘因子 (cofactor) 展開，三角形面積亦可表示為

$\displaystyle a=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_0&x_1&x_2\\ y_0&y_1&y_2\\ 1&1&1 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1&1&1\\ x_0&x_1&x_2\\ y_0&y_1&y_2 \end{vmatrix}$

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### 5 Responses to 利用行列式計算多邊形面積

1. 馬鑑一 says:

用三階行列式推導鞋帶公式
$\begin{bmatrix} x_1-x_0&x_2-x_0\\ y_1-y_0&y_2-y_0\\ \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} x_1-x_0&x_2-x_0&0\\ y_1-y_0&y_2-y_0&0 \\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} x_1-x_0&x_2-x_0&x_0\\ y_1-y_0&y_2-y_0&y_0 \\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} x_1&x_2&x_0\\ y_1&y_2&y_0 \\ 1&1&1\\ \end{bmatrix}$

• ccjou says:

謝謝補充。

2. ianre657 says:

看這篇文章發現一個小錯誤
一開始推導三角形面積的
det[u v]=[ ]
左下角應該是y1-y0

• ccjou says:

謝謝指出錯誤，已更正。

3. Yu Xue says:

很有意思，这个surveyor公式其实可以用微积分中的Green’s theorem来证明。（那天复习微积分看到的）。