利用行列式計算多邊形面積

本文的閱讀等級:初級

考慮平面上的 n 邊形,令 (x_0,y_0),(x_1,y_1),\ldots,(x_{n-1},y_{n-1}) 表示逆時針方向排序的 n 個端點座標。此 n 邊形面積記為 a,可由 n 個二階行列式之和算出:

\displaystyle  a=\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix}  x_0&x_1\\  y_0&y_1  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_1&x_2\\  y_1&y_2  \end{vmatrix}+\cdots+\begin{vmatrix}  x_{n-2}&x_{n-1}\\  y_{n-2}&y_{n-1}  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_{n-1}&x_0\\  y_{n-1}&y_0  \end{vmatrix}\right)

稱為測量員 (surveyor) 公式。有人將此公式簡明地表示如下[1]

\displaystyle  a=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}  x_0&x_1&x_2&\cdots&x_{n-2}&x_{n-1}&x_0\\  y_0&y_1&y_2&\cdots&y_{n-2}&y_{n-1}&y_0  \end{vmatrix}

測量員公式的計算方式形如

\begin{matrix}  x_0 & ~      & x_1 & ~      & x_2 & \cdots & x_{n-1} &        & x_{0} \\  ~   & \times &     & \times &     &        &         & \times & ~     \\  y_0 & ~      & y_1 & ~      & y_2 & \cdots &  y_{n-1} &        & y_{0}   \end{matrix}

所以又稱為鞋帶 (shoelace) 公式。我們知道二階行列式 \det A 等於 A 的列向量 (row vector) 所張開的平行四邊形的有號面積 (見“行列式的運算公式與性質”)。因為 \det A^T=\det A,可知列向量張開的平行四邊形面積等於行向量 (column vector) 張開的平行四邊形有號面積。根據右手定則,若右手拇指外的四根手指的彎曲方向 (即逆時針方向) 視為由第一列至第二列的旋轉方向,則面積為正,反之,面積為負。這篇短文利用行列式的幾何意義與基本性質證明測量員公式。

 
我們先推導三角形面積。若 n=3,令三角形的兩個邊向量為

\mathbf{u}=\begin{bmatrix}  x_1-x_0\\  y_1-y_0  \end{bmatrix},~\mathbf{v}=\begin{bmatrix}  x_2-x_0\\  y_2-y_0  \end{bmatrix}

向量 \mathbf{u}\mathbf{v} 所張的平行四邊形面積為

\displaystyle   \det\begin{bmatrix}  \mathbf{u}&\mathbf{v}  \end{bmatrix}=\begin{vmatrix}  x_1-x_0&x_2-x_0\\  y_1-y_0&y_2-y_0  \end{vmatrix}

可知端點為 (x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2) 的三角形面積等於

\displaystyle  a=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}  x_1-x_0&x_2-x_0\\  y_1-y_0&y_2-y_0  \end{vmatrix}

利用行列式基本性質:(1) 行列式對於任一行都是線性函數,(2) 交換兩行改變正負號,(3) 兩行相同則行列式為零,可得

\begin{aligned}  \begin{vmatrix}  x_1-x_0&x_2-x_0\\  y_1-y_0&y_2-y_0  \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}  x_1&x_2-x_0\\  y_1&y_2-y_0  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  -x_0&x_2-x_0\\  -y_0&y_2-y_0  \end{vmatrix}\\  &=\begin{vmatrix}  x_1&x_2\\  y_1&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_1&-x_0\\  y_1&-y_0  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  -x_0&x_2\\  -y_0&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  -x_0&-x_0\\  -y_0&-y_0  \end{vmatrix}\\  &=\begin{vmatrix}  x_1&x_2\\  y_1&y_2  \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}  x_1&x_0\\  y_1&y_0  \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}  x_0&x_2\\  y_0&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_0&x_0\\  y_0&y_0  \end{vmatrix}\\  &=\begin{vmatrix}  x_1&x_2\\  y_1&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_0&x_1\\  y_0&y_1  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_2&x_0\\  y_2&y_0  \end{vmatrix},\end{aligned}

故三角形面積為[2]

\displaystyle  a=\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix}  x_0&x_1\\  y_0&y_1  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_1&x_2\\  y_1&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_2&x_0\\  y_2&y_0  \end{vmatrix}\right)

 
接著考慮 n 邊形,n>3。為了使用三角形面積公式,將 n 邊形切割成 n-2 個三角形。我們看 n=5 的情況。見下圖,五邊形被分割成 3 個三角形,按逆時針方向端點標號,分別表示為 \triangle(0,1,2),\triangle(2,3,4),\triangle(4,0,2)

五邊形切割成3個三角形

五邊形面積等於3個三角形面積之和,即

\displaystyle \begin{aligned}  a&=\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix}  x_0&x_1\\  y_0&y_1  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_1&x_2\\  y_1&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_2&x_0\\  y_2&y_0  \end{vmatrix}\right)\\  &+\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix}  x_2&x_3\\  y_2&y_3  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_3&x_4\\  y_3&y_4  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_4&x_2\\  y_4&y_2  \end{vmatrix}\right)\\  &+\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix}  x_4&x_0\\  y_4&y_0  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_0&x_2\\  y_0&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_2&x_4\\  y_2&y_4  \end{vmatrix}\right),\end{aligned}

其中三角形 \triangle(4,0,2) 分別與 \triangle(0,1,2)\triangle(2,3,4) 擁有共邊 (0,2)(2,4)。在計算相鄰三角形面積時,因為共邊兩端點的排序相反,就有 \begin{vmatrix}  x_0&x_2\\  y_0&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_2&x_0\\  y_2&y_0  \end{vmatrix}=0\begin{vmatrix}  x_2&x_4\\  y_2&y_4  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_4&x_2\\  y_4&y_2  \end{vmatrix}=0,故五邊形面積公式為

\displaystyle  a=\frac{1}{2}\left(\begin{vmatrix}  x_0&x_1\\  y_0&y_1  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_1&x_2\\  y_1&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_2&x_3\\  y_2&y_3  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_3&x_4\\  y_3&y_4  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_4&x_0\\  y_4&y_0  \end{vmatrix}\right)

運用同樣方法可歸納證明一般多邊形的測量員面積公式。

 
註解
[1] 行列式僅定義於方陣,何不也定義非方陣的行列式?譬如,根據測量員公式,為何不將 2\times 3 階矩陣的行列式定義為

\begin{vmatrix}  x_0&x_1&x_2\\  y_0&y_1&y_2  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  x_0&x_1\\  y_0&y_1  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_1&x_2\\  y_1&y_2  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  x_2&x_0\\  y_2&y_0  \end{vmatrix}

我們可以任意定義 2\times 3 階矩陣的函數,但不能稱之為行列式。對於一個 m\times n 階矩陣 A,假設函數 d(A) 傳回一純量。若 m=n,則 d(A)=\det(A)。我們要求函數 d 必須滿足行列式的基本性質,譬如,行列式可乘公式:\det(AB)=(\det A)(\det B),其中 AB 是同階方陣。具體地說,若 Am\times n 階矩陣且 Bn\times p 階矩陣,則 d(AB)=d(A)d(B)。設 A=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1\\  0&0  \end{bmatrix},則 AA^T=\begin{bmatrix}  1&0&0\\  0&1&0\\  0&0&0  \end{bmatrix}A^TA=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix}。然而,

\begin{aligned}  1&=\begin{vmatrix}  1&0\\  0&1  \end{vmatrix}=\det(A^TA)=d(A^TA)=d(A^T)d(A)\\  &=d(A)d(A^T)=d(AA^T)=\det(AA^T)=\begin{vmatrix}  1&0&0\\  0&1&0\\  0&0&0  \end{vmatrix}=0.  \end{aligned}

這個矛盾說明非方陣不存在具有與行列式相同性質的函數。

[2] 利用餘因子 (cofactor) 展開,三角形面積亦可表示為

\displaystyle  a=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}  x_0&x_1&x_2\\  y_0&y_1&y_2\\  1&1&1  \end{vmatrix}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}  1&1&1\\  x_0&x_1&x_2\\  y_0&y_1&y_2  \end{vmatrix}

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4 則回應給 利用行列式計算多邊形面積

  1. 馬鑑一 說:

    用三階行列式推導鞋帶公式
    \begin{bmatrix} x_1-x_0&x_2-x_0\\ y_1-y_0&y_2-y_0\\ \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} x_1-x_0&x_2-x_0&0\\ y_1-y_0&y_2-y_0&0 \\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} x_1-x_0&x_2-x_0&x_0\\ y_1-y_0&y_2-y_0&y_0 \\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} x_1&x_2&x_0\\ y_1&y_2&y_0 \\ 1&1&1\\ \end{bmatrix}

  2. ianre657 說:

    看這篇文章發現一個小錯誤
    一開始推導三角形面積的
    det[u v]=[ ]
    左下角應該是y1-y0

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