## 三次方程的求根公式

Gerolamo Cardano (1501-1576) From http://www.uh.edu/engines/cardano.jpg

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

$\displaystyle x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

$\displaystyle y=x+{b}/(3a)$。經過變數變換原方程式可改寫為

$y^3+py+q=0$

$\displaystyle p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},~~q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

$(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3$

$(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$

$\displaystyle p=-3uv,~~q=-u^3-v^3$

$\displaystyle u^3+v^3=-q,~~u^3v^3=-\frac{p^3}{27}$

$\displaystyle z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0$

$\rho_1$$\rho_2$ 代表此二次方程的解：

$\displaystyle \rho_1=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3},~~ \rho_2=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3}$

$u=\sqrt[3]{\rho_1},~\omega\sqrt[3]{\rho_1},~\omega^2\sqrt[3]{\rho_1},$

$v=\sqrt[3]{\rho_2},~\omega\sqrt[3]{\rho_2},~\omega^2\sqrt[3]{\rho_2},$

$\displaystyle\omega=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

\displaystyle\begin{aligned} y_1&=\sqrt[3]{\rho_1}+\sqrt[3]{\rho_2}\\ y_2&=\omega\sqrt[3]{\rho_1}+\overline{\omega}\sqrt[3]{\rho_2}\\ y_3&=\overline{\omega}\sqrt[3]{\rho_1}+\omega\sqrt[3]{\rho_2}, \end{aligned}

$\displaystyle \Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3$

$\displaystyle \rho_1=-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta},~~ \rho_2=-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}$

$A=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 6&-3&-2\\ 4&-1&-2\\ 10&-5&-3 \end{array}\!\!\right]$

$p_A(t)=\begin{vmatrix} 6-t&-3&-2\\ 4&-1-t&-2\\ 10&-5&-3-t \end{vmatrix}=-t^3+2t^2-t+2$

$-t^3+2t^2-t+2=0$

$\displaystyle \Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3=\frac{25}{27}>0$

\displaystyle \begin{aligned} \rho_1&=-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}=\frac{26+15\sqrt{3}}{27},\\ \rho_2&=-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}=\frac{26-15\sqrt{3}}{27},\end{aligned}

$\displaystyle \sqrt[3]{\rho_1}=\frac{2+\sqrt{3}}{3},~~\sqrt[3]{\rho_2}=\frac{2-\sqrt{3}}{3}$

$\displaystyle y_1=\sqrt[3]{\rho_1}+\sqrt[3]{\rho_2}=\frac{2+\sqrt{3}}{3}+\frac{2-\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{3}$

\displaystyle\begin{aligned} y_2&=\omega\sqrt[3]{\rho_1}+\overline{\omega}\sqrt[3]{\rho_2}\\ &=\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\frac{2+\sqrt{3}}{3}+\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\frac{2-\sqrt{3}}{3}\\ &=-\frac{2}{3}+i,\end{aligned}

$y_3=-2/3-i$

[1] 維基百科：三次方程

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### 11 則回應給 三次方程的求根公式

1. Chenlogy 說：

感謝教授,百忙當中抽空解答問題,其實wiki百科上大致看過卡當的方法,當初著眼在"如果特徵值很複雜"(開根又有虛數)的狀況下,才想請教有無便捷的方法,從上面範例的行列式中,很容易看出有一根是2,用了卡當果真是 … 不如用觀察法…

• ccjou 說：

長久以來線性代數教本都不著重特徵值的計算，而是將重點放在特徵分析及其應用，畢竟計算的事交給電腦處理即可。

2. Watt Lin 說：

一般認為，「虛數」的使用，是為了解一元二次方程，而發明「想像的」數。
我曾經在一本書看到，解了二次方程之後，「虛數」卻還沒流行，而且受到一些反對，認為沒有必要存在「想像的」數。
等了若干年之後，「虛數」觀念之迫切需要，而讓數學家開始積極推廣，是因為想要解三次方程。
不知道這種說法，有沒有文獻依據？

• ccjou 說：

有的。William Dunham 的 Journey through genius: the great theorems of mathematics，1991，中譯《天才之旅》，牛頓出版社，pp173：
有一點需要特別強調。與大眾所認知的恰好相反，虛數之所以邁入數學的領域，並不是用來做為解二次方程式的工具，而是做為解三次方程式的工具。當 $\sqrt{-121}$ 出現在 $x^2+121=0$ 的解中時，數學家確實容易將它放棄(因為此方程式明顯地沒有實根)。但是當 $\sqrt{-121}$ 在獲得上述三次方程式(指 $x^3-15x=4$)的解 $x=4$ 中扮演關鍵角色時，他們即不能如此容易將它忽略掉。所以是三次方程式而非二次方程式給了複數最初的激勵和現在無可置疑的合法性。

上面說的式子是
$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{-121}}=(2+\sqrt{-1})-(-2+\sqrt{-1})=4$

王懷權，代數學發展史，1976，協進圖書，pp146：
問題：把1分為兩部分，使其兩部分的乘積為40。Cardano 解得此兩部分為 $5+\sqrt{-15}$$5-\sqrt{-15}$。他一方面視為強詞奪理，另一方面又認可而運用之。Cardano 用 Rx 15 表示 $\sqrt{-15}$

• Watt Lin 說：

感謝老師引用書籍內容來回答，上面答案，我很滿意！
另外，「把1分為兩部分，使其兩部分的乘積為40」是不是「把10分為兩部分，使其兩部分的乘積為40」漏打一個「0」？

• ccjou 說：

謝謝指正，兩數字之和確實是10。

我倒是認為幾乎每個文化都有負數的觀念，只是未必具備數學符號形式罷了。我問過一個六歲小孩：15減8是多少？他想了一想，給了答案。我問他怎麼算的，他說：8減5得到3，10再減3得到7。

• Watt Lin 說：

我印象中，在另一本書看到，「虛數」剛開始受到不少反對，但是比「負數」少。
「負數」觀念，最初被提出來時，受到更強烈的反對！

• Watt Lin 說：

Sorry! 我的用詞，需作一些調整：
「負數」被提出時，很難使人接受。
「虛數」的被接受，不像「負數」那麼困難。
(「不接受」與「反對」，意思存在差距。)

我忘了在哪一本書看到，也不記得「負數」開始被正式使用的年代。
這是數學史中，很有趣的話題，但高中課程沒談，我是看課外書籍而得知。

3. CHUA 說：

教授您好，判別式內形式是兩數相減，是否為相加筆誤?

• ccjou 說：

天哪，竟然有這麼嚴重的錯。多謝指正。