每週問題 May 28, 2012

給定方陣 A,證明所有可交換矩陣 AX=XA 形成的集合為一子空間。

Let A be an n\times n matrix. Show that S =\{X\vert AX = XA\}, the set of all the matrices commuting with A, is a vector space.

 
參考解答:

只需要證明 S 滿足矩陣加法和純量乘法封閉性即可。令 X,Y\in S,則 AX = XAAY = YA。計算

A(X + Y ) = AX + AY = XA + Y A = (X + Y )A

X + Y\in S。對於任意純量 c

A(cX) = c(AX) = c(XA) = (cX)A

cX\in S。 因此證得 S 是一向量空間。

PowSol-May-28-12

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