## 矩陣乘積行列式公式的代數證法

$A$$B$$n\times n$ 階矩陣。矩陣乘積 $AB$ 的行列式定理，或稱「可乘公式」，如下所示：

$\det(AB)=(\det A)(\det B)$

$\begin{vmatrix} ap+br&aq+bs\\ cp+dr&cq+ds \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} p&q\\ r&s \end{vmatrix}$

\begin{aligned} \begin{vmatrix} ap+br&aq+bs\\ cp+dr&cq+ds \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} ap&aq+bs\\ cp&cq+ds \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} br&aq+bs\\ dr&cq+ds \end{vmatrix}~~(\text{P1})\\ &=\begin{vmatrix} ap&aq\\ cp&cq \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} ap&bs\\ cp&ds \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} br&aq\\ dr&cq \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} br&bs\\ dr&ds \end{vmatrix}~~(\text{P1})\\ &=pq\begin{vmatrix} a&a\\ c&c \end{vmatrix}+ps\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}+qr\begin{vmatrix} b&a\\ d&c \end{vmatrix}+rs\begin{vmatrix} b&b\\ d&d \end{vmatrix}~~(\text{P1})\\ &=ps\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}+qr\begin{vmatrix} b&a\\ d&c \end{vmatrix}~~(\text{P2})\\ &=ps\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}-qr\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}~~(\text{P3})\\ &=\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}(ps-qr)\\ &=\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} p&q\\ r&s \end{vmatrix},\end{aligned}

$A=\begin{bmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{bmatrix},~~B=\begin{bmatrix} p&q&r\\ s&t&u\\ v&w&x \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3 \end{bmatrix},~~B=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\mathbf{b}_2&\mathbf{b}_3 \end{bmatrix}$

$AB=A\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\mathbf{b}_2&\mathbf{b}_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&A\mathbf{b}_3 \end{bmatrix}$

$A\mathbf{b}_p=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{1p}\\ b_{2p}\\ b_{3p} \end{bmatrix}=b_{1p}\mathbf{a}_1+b_{2p}\mathbf{a}_2+b_{3p}\mathbf{a}_3,~~~p=1,2,3$

\displaystyle \begin{aligned} \det(AB)&=\begin{vmatrix} &&\\ A\mathbf{b}_1&A\mathbf{b}_2&A\mathbf{b}_3\\ && \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} &&\\ \sum_{i=1}^3b_{i1}\mathbf{a}_i&\sum_{j=1}^3b_{j2}\mathbf{a}_j&\sum_{k=1}^3b_{k3}\mathbf{a}_k\\ && \end{vmatrix}\\ &=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\begin{vmatrix} &&\\ b_{i1}\mathbf{a}_i&b_{j2}\mathbf{a}_j&b_{k3}\mathbf{a}_k\\ && \end{vmatrix}~~(\text{P1})\\ &=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3b_{i1}b_{j2}b_{k3}\begin{vmatrix} &&\\ \mathbf{a}_i&\mathbf{a}_j&\mathbf{a}_k\\ && \end{vmatrix}~~(\text{P1})\\ &=\sum_{(i,j,k)}b_{i1}b_{j2}b_{k3}\begin{vmatrix} &&\\ \mathbf{a}_i&\mathbf{a}_j&\mathbf{a}_k\\ && \end{vmatrix}~~(\text{P2})\\ &=\sum_{(i,j,k)}b_{i1}b_{j2}b_{k3}\det P_{(i,j,k)}\begin{vmatrix} &&\\ \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3\\ && \end{vmatrix}~~(\text{P3})\\ &=(\det A)\sum_{(i,j,k)}b_{i1}b_{j2}b_{k3}\det P_{(i,j,k)}\\ &=(\det A)(\det B),\end{aligned}

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### 3 則回應給 矩陣乘積行列式公式的代數證法

1. Watt Lin 說：

看到這篇文章，以及先前的多篇，深深感覺到：
老師您是線代領域中，傳道、授業、解惑的優良典範！
如果其他學術領域，將來陸續有人建立類似的blog，會使學生們得到更好的學習效果！

• ccjou 說：

謝謝你的鼓勵。每每當我快撐不住時，想起許多讀者的支持，才又打起精神沖杯咖啡，繼續寫下去。

2. suehang 說：

数学论证,也要信达雅,老师是做到这一点了,学生呢?早年读过陕西师范大学罗增儒教授的,对此事略知一二,该书对数学解题的的长度,美感都做了分析,看了老师的后记.不禁想到此事.