利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:中級

C=[c_{ij}] 為一 n\times n 階 Cauchy 矩陣,其中各元為 c_{ij}=(a_i+b_j)^{-1}a_i+b_j\neq 0,或明確表示如下:

C=\begin{bmatrix}  \frac{1}{a_1+b_1}&\frac{1}{a_1+b_2}&\cdots&\frac{1}{a_1+b_n}\\[0.3em]  \frac{1}{a_2+b_1}&\frac{1}{a_2+b_2}&\cdots&\frac{1}{a_2+b_n}\\[0.3em]  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[0.3em]  \frac{1}{a_n+b_1}&\frac{1}{a_n+b_2}&\cdots&\frac{1}{a_n+b_n}  \end{bmatrix}

Cauchy 矩陣的行列式的計算公式如下 (見“每週問題 March 7, 2011”):

\displaystyle  \det C=\frac{\prod_{1\le j<i\le n}(a_i-a_j)(b_i-b_j)}{\prod_{1\le i,j\le n}(a_i+b_j)}

當集合 \{a_1,\ldots,a_n\}\{b_1,\ldots,b_n\} 各自包含相異數時,C 是可逆矩陣。本文利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣。

 
n\times n 階矩陣 Z=[z_{ij}] 滿足 ZC=I,對於任意 1\le i,k\le n,就有

\displaystyle  \sum_{j=1}^n\frac{z_{ij}}{a_j+b_k}=\delta_{ik}

其中 \delta_{ik} 是 Kronecker 函數:\delta_{ik}=1i=k\delta_{ik}=0i\neq k。Kronecker 函數讓我們想起 Lagrange 內插所使用的基本多項式 (見“線性世界的根基──疊加原理”),下面是定義於 \{b_1,\ldots,b_n\}n-1 次多項式:

\displaystyle\begin{aligned}  L_i(x)&=\frac{(x-b_1)\cdots(x-b_{i-1})(x-b_{i+1})\cdots(x-b_n)}{(b_i-b_1)\cdots(b_i-b_{i-1})(b_i-b_{i+1})\cdots(b_i-b_n)}\\  &=\prod_{1\le p\le n\atop p\neq i}\left(\frac{x-b_p}{b_i-b_p}\right),\end{aligned}

明顯地,L_i(b_i)=1L_i(b_p)=0p\neq i,推知 L_i(b_k)=\delta_{ik}。所以,如果限制 x\in\{b_1,\ldots,b_n\},就有

\displaystyle  L_i(x)=\sum_{j=1}^n\frac{z_{ij}}{x+a_j}

為了獲得 z_{ij} 的代數式,我們必須設法寫出等號右邊的等價表達式。考慮定義於 \{-a_1,-a_2,\ldots,-a_n\}n-1 次 Lagrange 內插多項式:

\displaystyle\begin{aligned}  f(x)&=f(-a_1)\prod_{1\le p\le n\atop p\neq 1}\left(\frac{x+a_p}{-a_1+a_p}\right)+\cdots+f(-a_n)\prod_{1\le p\le n\atop p\neq n}\left(\frac{x+a_p}{-a_n+a_p}\right)\\  &=\sum_{j=1}^nf(-a_j)\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}\left(\frac{x+a_p}{-a_j+a_p}\right),\end{aligned}

或寫為

\displaystyle  {f(x)}\bigg/{\prod_{1\le p\le n}(x+a_p)}=\sum_{j=1}^n\frac{f(-a_j)\big/\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(-a_j+a_p)}{x+a_j}

至此我們得到兩個形式相似的等式,即 L_i(x){f(x)}\bigg/{\prod_{1\le p\le n}(x+a_p)},它們的等號右邊有相同的分母 x+a_j。因為 f(x) 是任意 n-1 次多項式,可令

\displaystyle  f(x)=L_i(x)\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p)

這麼做的原因是:當 x\in\{b_1,\ldots,b_n\}

\displaystyle\begin{aligned}  {f(b_k)}\bigg/{\prod_{1\le p\le n}(b_k+a_p)}&=L_i(b_k)\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p)\bigg/\prod_{1\le p\le n}(b_k+a_p)\\  &=\delta_{ik}\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p)\bigg/\prod_{1\le p\le n}(b_k+a_p)\\  &=\delta_{ik}=L_i(b_k).\end{aligned}

因為當 x=b_kk=1,\ldots,nL_i(x)={f(x)}\bigg/{\prod_{1\le p\le n}(x+a_p)},等號右邊的分子必定相等,立得

\displaystyle  z_{ij}={f(-a_j)}\bigg/{\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(-a_j+a_p)}

最後用設定的 f(x) 以及 L_i(x) 的定義式計算,詳細推演過程如下:

\displaystyle\begin{aligned}  z_{ij}&=L_i(-a_j)\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p)\bigg/\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(-a_j+a_p)\\  &=\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq i}\left(\frac{-a_j-b_p}{b_i-b_p}\right)\right)\left(\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p)\right)\bigg/\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(-a_j+a_p)\\  &={\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq i}(a_j+b_p)\right)\left(\prod_{1\le p\le n}(a_p+b_i)\right)}  \bigg/{\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq i}(b_i-b_p)\right)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(a_j-a_p)\right)}\\  &={\prod_{1\le p\le n}(a_j+b_p)(a_p+b_i)}\bigg/{(a_j+b_i)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(a_j-a_p)\right)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq i}(b_i-b_p)\right)}.  \end{aligned}

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4 Responses to 利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣

  1. 陈瑜佳 說道:

    老师你好。

    這麼做的原因是:當 x\in\{b_1,\ldots,b_n\}

    \displaystyle\begin{aligned}  {f(b_k)}\bigg/{\prod_{1\le p\le n}(b_k+a_p)}&=L_i(b_k)\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p)\bigg/\prod_{1\le p\le n}(b_k+a_p)\\  &=\delta_{ik}\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p)\bigg/\prod_{1\le p\le n}(b_k+a_p)\\  &=\delta_{ik}=L_i(b_k).\end{aligned}

    这个地方有点不明白。为什么后来 (b_k) 留在了等价式里,而且是写的是 (b_i) 而不是 x 呢?

    • 陈瑜佳 說道:

      不好意思。。。好像评论不支持latex格式。就是对文中倒数第三个等式的一些问题。

      • ccjou 說道:

        我將你的迴響編輯過以正確顯示。Wordpress 支援LaTeX,請在語法前輸入 $+latex+空格,結束時再鍵入 $。

        我不確定你的疑問在哪裡,故將每一個步驟註解:
        1) 將 x=b_k 代入前一式
        \displaystyle f(x)=L_i(x)\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p) 可得
        \displaystyle {f(b_k)}\bigg/{\prod_{1\le p\le n}(b_k+a_p)}=L_i(b_k)\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p)\bigg/\prod_{1\le p\le n}(b_k+a_p)
        2) 因為 L_i(b_k)=\delta_{ik} (在前面的一句話,明顯地,……)
        Eq=\delta_{ik}\prod_{1\le p\le n}(b_i+a_p)\bigg/\prod_{1\le p\le n}(b_k+a_p)
        3) 右邊分式是一個常數,不要理它。若 i=k,則分式等於1且 \delta_{ik}=1;若 i\neq k,則 \delta_{ik}=0,所以有
        Eq=\delta_{ik}=L_i(b_k)

        部分推論編輯過,希望比較容易閱讀。

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