## 利用連續論證法證明 Cayley-Hamilton 定理

$A$ 為一 $n\times n$ 階矩陣，且 $p(t)=\det(tI-A)$ 為其特徵多項式。設 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$$A$ 的特徵值，也就是特徵多項式 $p(t)$ 的根，故 $p(t)$ 可表示為

$p(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots(t-\lambda_n)$

$p(A)=(A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)\cdots(A-\lambda_nI)=0$

$A$ 是可對角化矩陣，則存在可逆矩陣 $S$ 使得 $A=S\Lambda S^{-1}$，其中 $\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$。將上式代入 $p(A)$，化簡過程如下：

\begin{aligned} p(A)&=(S\Lambda S^{-1}-\lambda_1I)(S\Lambda S^{-1}-\lambda_2I)\cdots(S\Lambda S^{-1}-\lambda_nI)\\ &=S(\Lambda-\lambda_1I)S^{-1}S(\Lambda-\lambda_2I)S^{-1}\cdots S(\Lambda-\lambda_nI)S^{-1}\\ &=S(\Lambda-\lambda_1I)(\Lambda-\lambda_2I)\cdots (\Lambda-\lambda_nI)S^{-1}\\ &=S\begin{bmatrix} 0&&&\\ &\lambda_2-\lambda_1&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n-\lambda_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1-\lambda_2&&&\\ &0&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n-\lambda_2 \end{bmatrix}\cdots\\ &~~~~~\begin{bmatrix} \lambda_1-\lambda_n&&&\\ &\lambda_2-\lambda_n&&\\ &&\ddots&\\ &&&0 \end{bmatrix}S^{-1}\\ &=S0S^{-1}=0.\end{aligned}

$p(A)=Sp(\Lambda)S^{-1}=S\begin{bmatrix} p(\lambda_1)&&&\\ &p(\lambda_2)&&\\ &&\ddots&\\ &&&p(\lambda_n) \end{bmatrix}S^{-1}$

$\tilde{A}(\epsilon)=U(T+D(\epsilon))U^{\ast}=UTU^{\ast}+UD(\epsilon)U^{\ast}=A+E(\epsilon)$

$p(t)=\det(tI-A)=t^n-b_{n-1}t^{n-1}+\cdots+(-1)^{n-1}b_1t+(-1)^nb_0$

$\displaystyle \Vert E(\epsilon)\Vert^2_F=\Vert UD(\epsilon)U^{\ast}\Vert_F^2=\Vert D(\epsilon)\Vert_F^2=\sum_{i=1}^n\epsilon_i^2=\vert\epsilon\vert$

$\lim_{\epsilon\to 0}E(\epsilon)=0$，推知

$\displaystyle 0=\lim_{\epsilon\to 0}p_{\epsilon}\left(\tilde{A}(\epsilon)\right)=\lim_{\epsilon\to 0}p_{\epsilon}\left(A+E(\epsilon)\right)=p(A)$

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