伴隨矩陣

本文的閱讀等級:初級

A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} 是可逆的,則 A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\!\!\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a \end{array}\!\!\right]。行列式與逆矩陣顯然有密切的關係,事實上,從行列式計算公式──餘因子展開 (亦稱 Laplace 展開)──可導出一般 n\times n 階矩陣 A=[a_{ij}] 的逆矩陣公式 (見“三階逆矩陣公式”)。令 \tilde{A}_{ij} 代表移除 A 的第 i 列 (row) 與第 j 行 (column) 之後得到的 (n-1)\times(n-1) 階子陣。我們稱 \det\tilde{A}_{ij} 為餘子式 (minor),並定義 a_{ij} 的餘因子 (cofactor) 為

\displaystyle c_{ij}=(-1)^{i+j}\det\tilde{A}_{ij}

對於任一列指標 i,行列式的餘因子公式 (見“行列式的運算公式與性質”) 如下:

\displaystyle \det A=\sum_{j=1}^na_{ij}c_{ij}=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det\tilde{A}_{ij}

將上式表示成兩個矩陣之積的主對角元:

\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{11}&c_{21}&\cdots&c_{n1}\\ c_{12}&c_{22}&\cdots&c_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c_{1n}&c_{2n}&\cdots&c_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \det A&0&\cdots&0\\ 0&\det A&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\det A \end{bmatrix}

請注意,等號左邊的第一個矩陣是 A,第二個矩陣是餘因子矩陣 C=[c_{ij}] 的轉置,唯有如此安排才能使乘積 AC^T 的所有主對角元等於 \det A。為甚麼 AC^T 的非主對角元全都是零?以 A 的第1列和 C^T 的第2行相乘為例,如何證明

a_{11}c_{21}+a_{12}c_{22}+\cdots+a_{1n}c_{2n}=0

反過來看這個問題,上式等同於計算那一個矩陣的行列式?答案是

B=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}

上式即為對於 B 的第 2 列 (a_{11},a_{12},\ldots,a_{1n}) 展開得到的 \det B 的餘因子公式。但 B 的第 1 列和第 2 列完全相同,故知 \det B=0。所以,AC^T=(\det A)I 的確成立。餘因子矩陣 CA 而生,數學家於是稱 C^TA 的伴隨矩陣 (adjugate 或 classical adjoint),記作 \mathrm{adj}\,A,其中 (\mathrm{adj}\,A)_{ij}=c_{ji},也就有關鍵等式:

A(\mathrm{adj}\,A)=(\det A)I

若對於任一行指標 j 寫出行列式餘因子展開 \det A=\sum_{i=1}^na_{ij}c_{ij} 的矩陣表達,可得 (\mathrm{adj}\,A)A=(\det A)I。若 A 是可逆的,則逆矩陣為

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}\,A

請特別注意,線性代數還有另一種伴隨矩陣。共軛轉置 A^{\ast}=\overline{A}^T 也稱為 A 的伴隨 (adjoint),定義如下:對於任意 n 維向量 \mathbf{x}, \mathbf{y}A^{\ast} 滿足

(A\mathbf{x})^{\ast}\mathbf{y}=\mathbf{x}^{\ast}(A^{\ast}\mathbf{y})

在此不詳細討論,讀者可查閱“轉置矩陣的意義”和“線性泛函與伴隨”。

 
下面介紹一些伴隨矩陣的性質,證明全都基於伴隨矩陣定義和上述關鍵等式。

 
(1) \mathrm{adj}\,(AB)=(\mathrm{adj}\,B)(\mathrm{adj}\,A)

證明見“連續論證法”。

 
(2) 若 A 是可逆的,則 \mathrm{adj}\,A 也是可逆的,且 \mathrm{adj}\,A=(\det A)A^{-1}

明顯地,若 A 是可逆的,\det A\neq 0,關鍵等式左乘 A^{-1} 可得 \mathrm{adj}\,A=(\det A)A^{-1},故 (\mathrm{adj}\,A)^{-1}=(\det A)^{-1}A。根據此性質,若 A 是可逆的,

\displaystyle \mathrm{adj}\,(A^{-1})=\det(A^{-1})(A^{-1})^{-1}=\frac{1}{\det A}A

 
(3) 若 \mathrm{rank}A=n-1,則 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,A)=1

(4) 若 \mathrm{rank}A<n-1,則 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,A)=0

A 是不可逆的,就有 A(\mathrm{adj}\,A)=0\mathrm{adj}\,A 的所有行向量皆屬於零空間 N(A),故 C(\mathrm{adj}\,A)\subseteq N(A),這指出 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,A)=\dim C(\mathrm{adj}\,A)\le\dim N(A)。令 E 是基本矩陣,因為 E 是可逆矩陣,由性質(2)可知 \mathrm{adj}\,E 亦為可逆矩陣。利用性質(1),\mathrm{adj}\,(EA)=(\mathrm{adj}\,A)(\mathrm{adj}\,E),基本運算 (基本矩陣乘以一矩陣) 不改變矩陣秩,推論 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,(EA))=\mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,A)。令 n\times n 階矩陣 R 代表對 A 執行一連串基本運算而得的簡約列梯形式 (reduced row echelon form),就有 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,R)=\mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,A)。在不失一般性原則下,設 R 可表示為下列分塊矩陣形式 (將 R 的軸行置換於前不改變矩陣秩):

R=\begin{bmatrix} I_r&F\\ 0&0 \end{bmatrix}

其中 r=\mathrm{rank}A。若 r=n-1,由定義可知

\mathrm{adj}\,R=\begin{bmatrix} 0&0&\cdots&\ast\\ 0&0&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{bmatrix}

其中 \ast 可為任意數,上式表明 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,R)=1,故 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,A)=1。若 r<n-1R 的非零列總數小於 n-1,必有 \mathrm{adj}\,R=0,即知 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,A)=\mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,R)=0

 
(5) \det(\mathrm{adj}\,A)=(\det A)^{n-1}

A 是可逆矩陣,\mathrm{adj}\,A=(\det A)A^{-1},行列式的計算化簡過程如下:

\begin{aligned} \det(\mathrm{adj}\,A)&=\det((\det A)A^{-1})=(\det A)^n\det(A^{-1})\\ &=(\det A)^n(\det A)^{-1}=(\det A)^{n-1};\end{aligned}

A 是不可逆的,\det A=0,由性質(3)和(4)即知 \det(\mathrm{adj}\,A)=0

 
(6) \mathrm{adj}\,(\mathrm{adj}\,A)=(\det A)^{n-2}An>2

A 是可逆的,將 \mathrm{adj}\,A=(\det A)A^{-1}A 替換為 \mathrm{adj}\,A,可得 \mathrm{adj}\,(\mathrm{adj}\,A)=\det(\mathrm{adj}\,A)(\mathrm{adj}\,A)^{-1},其中 (\mathrm{adj}\,A)^{-1}=((\det A)A^{-1})^{-1}=(\det A)^{-1}A,合併兩式並利用性質(5),

\mathrm{adj}\,(\mathrm{adj}\,A)=(\det A)^{n-1}(\det A)^{-1}A=(\det A)^{n-2}A

A 是不可逆的,重複使用性質(3)和(4),推知 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,A)\le 1\mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,(\mathrm{adj}\,A))=0,故 \mathrm{adj}\,(\mathrm{adj}\,A)=0

 
(7) \mathrm{adj}\,(kA)=k^{n-1}\mathrm{adj}\,A

由定義可知 \mathrm{adj}(kA)(i,j) 元為 (-1)^{i+j}\det(k\tilde{A}_{ji})=(-1)^{i+j}k^{n-1}\det\tilde{A}_{ji}=k^{n-1}(\mathrm{adj}\,A)_{ij}

 
(8) \mathrm{adj}\,(A^T)=(\mathrm{adj}\,A)^T

由定義可知 \mathrm{adj}\,(A^T)(i,j) 元為 (-1)^{i+j}\det\tilde{A}^T_{ji}=(-1)^{i+j}\det\tilde{A}_{ij},此即 (\mathrm{adj}\,A)^T(i,j) 元。若 A^T=A,則 (\mathrm{adj}\,A)^T=\mathrm{adj}\,(A^T)=\mathrm{adj}\,A。若 A^T=-A,性質(7)說明

(\mathrm{adj}\,A)^T=\mathrm{adj}\,(A^T)=\mathrm{adj}\,(-A)=(-1)^{n-1}\mathrm{adj}\,A

n 是奇數時,\mathrm{adj}A 是對稱矩陣;當 n 是偶數時,\mathrm{adj}A 是反對稱矩陣。

 
(9) 對於可逆矩陣 S\mathrm{adj}\,(SAS^{-1})=S(\mathrm{adj}\,A)S^{-1}

利用性質(1),

\begin{aligned} \mathrm{adj}\,(SAS^{-1})&=(\mathrm{adj}\,S^{-1})(\mathrm{adj}\,A)(\mathrm{adj}\,S)=(\det S^{-1})S(\mathrm{adj}\, A)(\det S)S^{-1}\\ &=S(\mathrm{adj}\,A)S^{-1}.\end{aligned}

因此若 A 相似於 B,則 \mathrm{adj}\,A 相似於 \mathrm{adj}\,B

 
(10) 若 A 是可逆矩陣且特徵值為 \lambda_1,\ldots,\lambda_n,則 \mathrm{adj}\,A 有特徵值 \frac{\det A}{\lambda_1},\ldots,\frac{\det A}{\lambda_n}

考慮特徵方程 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\lambda\neq 0,則

\displaystyle (\mathrm{adj}\,A)\mathbf{x}=(\mathrm{adj}\,A)\left(\frac{1}{\lambda}A\mathbf{x}\right)=\frac{1}{\lambda}(\det A)I\mathbf{x}=\frac{\det A}{\lambda}\mathbf{x}

\mathrm{adj}\,A 有特徵值 \frac{\det A}{\lambda},對應的特徵向量為 \mathbf{x}

 
(11) 若 A 是不可逆矩陣,則 \mathrm{adj}\,An-1 個零特徵值和 \sum_{i=1}^n\det\tilde{A}_{ii}

\mathrm{rank}A=n-1,利用性質(3)可知 \mathrm{rank}(\mathrm{adj}\,A)=1,故 \mathrm{adj}\,A 僅有一非零特徵值。因為跡數 (trace) 等於特徵值之和,此非零特徵值必為 \mathrm{trace}(\mathrm{adj}\,A)=\sum_{i=1}^n\det\tilde{A}_{ii}。若 \mathrm{rank}A<n-1,由性質(4)即知 \mathrm{adj}\,A=0,故 \mathrm{adj}\,An 個零特徵值,上述命題仍然成立。

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18 則回應給 伴隨矩陣

  1. 許家豪 說:

    老師您好, 請問第一行中的逆矩陣的a是不是打錯不見了?
    謝謝

  2. 曾偉恩 說:

    老師你好
    我想請問
    假如我現在知道一個矩陣(比如說2X2)

    我想要找一個矩陣
    讓他們相乘等於0

    請問這有甚麼方法嗎

  3. ccjou 說:

    給定二階方陣 A,考慮 AB=0
    如果 A 是可逆的,上式左乘 A^{-1},則 B=0
    如果 A 是不可逆的,存在非零向量 x 使得 Ax=0。設 B 的行向量為 x 即可。

  4. 曾偉恩 說:

    老師你好
    可能我上面表示得不夠完整

    假設有個方程式是這樣 ( [ ]表示矩陣 旁邊的數字是矩陣的dimension )
    [Y]2×1 =[A]2×2 * [B]2×1 + [C]2×1 + [D]2×2 * [E]2×1

    因為我不想要 [D]2×2 * [E]2×1 這項
    所以我想找一個矩陣 [F]2×2
    變成 [F]2×2 * [D]2×2 會等於 0 0 的2×2矩陣 就可以把 [D]2×2 * [E]2×1 後面這想消掉
    0 0

    [F]2×2 * [Y]2×1 = [F]2×2 * [A]2×2 * [B]2×1 + [F]2×2 * [C]2×1 + [F]2×2 * [D]2×2 * [E]2×1

    最後想讓方程式變成這樣
    [F]2×2 * [Y]2×1 = [F]2×2 * [A]2×2 * [B]2×1 + [F]2×2 * [C]2×1

    請問要怎麼去尋找矩陣 [F]2X2

    我想過會不會是用 orthogonal complement 或 nullspace

    再麻煩老師解答 謝謝

    • 曾偉恩 說:

      假如可以
      是否能請老師舉個例子
      謝謝老師 !

    • ccjou 說:

      你的問題依舊沒寫清楚。

      DE是已知的常數向量嗎?如果是,譬如,DE=\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix},那麼你要找一個 F 使得 F\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}。答案不是很明顯嗎?
      如果DE裡面有參數,譬如,DE=\begin{bmatrix} a\\ a+b \end{bmatrix},那麼解出 \begin{bmatrix} x&y\\ kx&ky \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ a+b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}x,y 即可得到F(k是任意數)。

      但不論如何,F 是一個不可逆矩陣,你會因此失去一些訊息。

      • 曾偉恩 說:

        老師不好意思可能我表達有問題 請老師諒解
        因為我現在只知道這些資訊

        [Y]2×1 =[A]2×2 * [B]2×1 + [C]2×1 + [D]2×2 * [E]2×1

        我想找一個矩陣 [F]
        讓 [D]2×2 * [E]2×1 這項消失

        我想要找的不是 [D][E] 乘完再乘[F]

        而是我想找 [F][D] 兩個矩陣乘完之後變
        ┌ 00 ┐
        └ 00 ┘

        [F]2×2 * [Y]2×1 = [F]2×2 * [A]2×2 * [B]2×1 + [F]2×2 * [C]2×1 + [F]2×2 * [D]2×2 * [E]2×1

        然後 [D]2×2 * [E]2×1 這項就會不見了

        最後剩下的就是

        [F]2×2 * [Y]2×1 = [F]2×2 * [A]2×2 * [B]2×1 + [F]2×2 * [C]2×1

        —————————————————————–
        因為我想說2*2的矩陣最簡單 所以用2*2舉例

        所以假如我已知[D]2×2 (裡面都是常數)
        那我要怎麼找[F] (再找F的時候 有要考慮到甚麼嗎?)

        讓 [F]2×2 * [D]2×2 相乘等於
        ┌ 00 ┐
        └ 00 ┘

        有甚麼方法嗎 或使用的方法名稱是甚麼

        謝謝老師

  5. ccjou 說:

    \det D=-3 表示 D 是一個可逆矩陣,除了F=0,不存在其他 F 使得 FD=0。上面已經說明了,請詳查後再提問。

    你的問題都很基本,恕我無法再回覆,不然這個blog就變成客服中心了。

  6. 阿保 說:

    您好老師:
    我目前遇到一些小小的問題就是
    我的A矩陣為非可逆矩陣,但是我就是要求得他的反矩陣
    主要是我們訊號乘上A矩陣,我需要用反矩陣讓他還原回去,
    但是我的A矩陣的det(A)趨近於零
    如果用偽逆矩陣的話,沒辦法還原到跟原本一模一樣,有什麼方法可以讓反矩陣的誤差值最小呢?

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