每週問題 September 24, 2012

T 為定義於向量空間 \mathcal{V} 的線性變換,證明存在一正整數 n 使得 \mathcal{V}=R(T^n)\oplus N(T^n)

Let \mathcal{U} and \mathcal{W} be two subspaces of a finite dimensional vector space \mathcal{V}. The sum \mathcal{U} + \mathcal{W} is called a direct sum, denoted by \mathcal{U}\oplus \mathcal{W}, if every element \mathbf{x}\in \mathcal{U}+\mathcal{W} can be uniquely written as \mathbf{x} = \mathbf{u} + \mathbf{w}, where \mathbf{u}\in \mathcal{U} and \mathbf{w}\in \mathcal{W}. Let T be a linear transformation on \mathcal{V}. Show that there exists a positive integer n so that \mathcal{V} = R(T^n)\oplus N(T^n), where R(T^n) and N(T^n) denote the range and kernel of T^n, respectively.


參考解答:

T\mathbf{x} = \mathbf{0},則 T^2\mathbf{x} = T(T\mathbf{x}) = T(\mathbf{0}) = \mathbf{0},即知 N(T) \subseteq N(T^2),繼續此程序可推論

N(T)\subseteq N(T^2) \subseteq\cdots\subseteq N(T^k) \subseteq N(T^{k+1}) \subseteq\cdots

\mathcal{V} 為一有限維向量空間,故必定存在一正整數 n 使得對於所有正整數 m 都有 N(T^n) =N(T^{n+m})。根據秩─零度定理 \dim\mathcal{V} = \dim R(T^n) + \dim N(T^n),因此欲證明 V =R(T^n)\oplus N(T^n),只須證明 R(T^n) \cap N(T^n) = \{\mathbf{0}\} 即可。令 \mathbf{x}\in R(T^n) \cap N(T^n),則存在 \mathbf{y} 使得 \mathbf{x} = T^n\mathbf{y}T^n\mathbf{x} = \mathbf{0}。合併上面兩式,\mathbf{0} = T^n\mathbf{x} = T^n(T^n\mathbf{y}) = T^{2n}\mathbf{y},這說明 \mathbf{y}\in N(T^{2n}) = N(T^n),所以 \mathbf{x} = T^n\mathbf{y} = \mathbf{0},得證。

PowSol-Sept-24-12

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