仿射獨立

本文的閱讀等級:初級

考慮 \mathbb{R}^3 中三向量 \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3。如果存在不全為零的組合權重 c_1,c_2,c_3 使得

c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}

我們稱向量集 \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} 線性相關 (否則稱為線性獨立),這時候其中一個向量可以表示為其他二向量的線性組合。若 \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 的端點 (向量代表點座標) 位於同一直線上,則其中一向量為其他二向量的仿射組合 (見“仿射組合與仿射空間”)。設

\mathbf{v}_3=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2

其中 c_1+c_2=1。將上式改寫為

c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3=\mathbf{0}

可知 \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} 不僅線性相關,且組合權重之和等於零。這個結果引出下面的定義:對於 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\in\mathbb{R}^n,若存在不全為零的實數 c_1,\ldots,c_k 使得

c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}

並滿足 c_1+\cdots+c_k=0,我們稱向量集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 仿射相關 (affine dependent),否則稱為仿射獨立 (affine independent)。以下討論限定於幾何向量空間 \mathbb{R}^n

 
因為仿射相關是線性相關的一種特殊情況,仿射相關蘊含線性相關,譬如,若三點位在同一直線上,則此三點也在同一平面上 (包含該直線的任何平面)。反過來說,線性獨立蘊含仿射獨立。僅含一點 (包括原點) 的向量集 \{\mathbf{v}_1\} 必定是仿射獨立的,理由是不存在非零實數 c_1 滿足 c_1=0。若 \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2,即 \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2=\mathbf{0},立知 \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} 是仿射相關集。注意 \mathbf{v}_1 可視為 \mathbf{v}_2 的仿射組合,故知仿射相關集 \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} 裡面包含多餘的成員。定理一將此性質推廣至包含多個向量的仿設相關集。

 
定理一:對於 k\ge 2,若 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 是仿射相關集,則其中一向量可表示為其他向量的仿射組合。反向陳述也成立。

證明於下。假設存在不全為零的實數 c_1,\ldots,c_k 使得 c_1+\cdots+c_k=0c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}。在不失一般性的原則下,設 c_1\neq 0,上面兩式通除以 c_1,可得 1+(c_2/c_1)+\cdots+(c_k/c_1)=0,以及

\displaystyle  \mathbf{v}_1=-\left(\frac{c_2}{c_1}\right)\mathbf{v}_2-\cdots-\left(\frac{c_k}{c_1}\right)\mathbf{v}_k

其中組合權重總和等於 1,所以 \mathbf{v}_1 可表示成 \mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k 的仿射組合。反之,若 \mathbf{v}_1=c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_k\mathbf{v}_kc_2+\cdots+c_k=1,則 \mathbf{v}_1-c_2\mathbf{v}_2-\cdots-c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0} 的組合權重之和為零,推知 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 是仿射相關集。

 
定理一僅表明仿射相關集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 的其中一員可由其餘向量仿射組合而成,但沒有指出是那一個向量,因此不適用於判定仿射相關集。下面的定理給出一個基於線性相關的仿射相關判定法。

 
定理二:對於 k\ge 2,若 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 是仿射相關集,則 \{\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k-\mathbf{v}_1\} 是線性相關集,反之亦然。

假設 c_1,\ldots,c_k 不全為零,c_1+\cdots+c_k=0c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}。因為 c_1=-(c_2+\cdots+c_k),就有

-(c_2+\cdots+c_k)\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}

整理為

c_2(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)+\cdots+c_k(\mathbf{v}_k-\mathbf{v}_1)=\mathbf{0}

上式中,組合權重 c_2,\ldots,c_k 不全為零,否則 c_1 亦為零 (c_1,\ldots,c_k 全部等於零與假設相矛盾),可知 \{\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k-\mathbf{v}_1\} 線性相關。以上推演過程亦可逆推。

 
我們知道 \mathbb{R}^3 空間中任何四點必定線性相關,但它們未必是仿射相關,因為這四點不一定位在同一平面上。見下例:

\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}  4\\  0\\  1  \end{bmatrix},~\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}  2\\  3\\  5  \end{bmatrix},~\mathbf{v}_3=\begin{bmatrix}  1\\  4\\  2  \end{bmatrix},~\mathbf{v}_4=\left[\!\!\begin{array}{r}  -4\\  10\\  -3  \end{array}\!\!\right]

根據定理二,若 \{\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1\} 是線性相關集,則 \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} 是仿射相關集,否則是仿射獨立集。寫出增廣矩陣 \begin{bmatrix}  \mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1&\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1&\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1  \end{bmatrix},再以基本列運算化簡,結果如下:

\left[\!\!\begin{array}{rrr}  -2&-3&-8\\  3&4&10\\  4&1&-4  \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{ccr}  1&0&-2\\  0&1&4\\  0&0&0  \end{array}\!\!\right]

簡約列梯形式有2個軸元 (即 1),可知增廣矩陣的行空間維數等於 2,所以 \{\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1\} 是線性相關集,也就是說,\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 位於同一平面上。另由第三行數值可得 (見“由簡約列梯形式判斷行空間基底”)

\mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1=-2(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1)+4(\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1)

亦即

\mathbf{v}_4=-\mathbf{v}_1-2\mathbf{v}_2+4\mathbf{v}_3

其中組合權重加總為 -1-2+4=1,驗證 \mathbf{v}_4\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 的仿射組合。

 
上述運用定理二的演算過程必須先得到 \mathbf{v}_4-\mathbf{v}_1 的組合權重,之後再寫出 \mathbf{v}_4 的組合式,因此稍嫌繁雜。運用齊次座標 (見“仿射變換”),我們可以直接得到答案。對於 \mathbf{v}\in\mathbb{R}^n,所謂 \mathbf{v} 的齊次座標即為 n+1 維增廣向量 \begin{bmatrix}  \mathbf{v}\\  1  \end{bmatrix}。十分明顯,\mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{x}_kc_1+\cdots+c_k=1 可合併成

\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  1  \end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_1\\  1  \end{bmatrix}+\cdots+c_k\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_k\\  1  \end{bmatrix}

換句話說,如果 \mathbf{x} 可寫為 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k 的仿射組合,則 \begin{bmatrix}   \mathbf{x}\\  1  \end{bmatrix} 可表示成 \begin{bmatrix}  \mathbf{v}_1\\  1  \end{bmatrix},\ldots,\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_k\\  1  \end{bmatrix} 的線性組合,且兩者有完全相同的組合權重。同樣地,c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}c_1+\cdots+c_k=0 亦可合併為

c_1\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_1\\  1  \end{bmatrix}+\cdots+c_k\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_k\\  1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \mathbf{0}\\  0  \end{bmatrix}

如果 c_1,\ldots,c_k 不全為零,\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 是仿射相關集,而 \left\{\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_1\\  1  \end{bmatrix},\ldots,\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_k\\  1  \end{bmatrix}\right\} 則是線性相關集。我們將此結果寫成一個定理。

 
定理三:對於 k\ge 2,若 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 是仿射相關集,則 \left\{\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_1\\  1  \end{bmatrix},\ldots,\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_k\\  1  \end{bmatrix}\right\} 是線性相關集,反之亦然。

 
回到前例,寫出增廣矩陣 \begin{bmatrix}  \mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\mathbf{v}_3&\mathbf{v}_4\\  1&1&1&1  \end{bmatrix},經基本列運算化簡可得

\left[\!\!\begin{array}{cccr}  4&2&1&-4\\  0&3&4&10\\  1&5&2&-3\\  1&1&1&1  \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{cccr}  1&0&0&-1\\  0&1&0&-2\\  0&0&1&4\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right]

簡約列梯形式告訴我們二件事:(1) 前三行包含3個軸元 (即 1),可知對應的行向量 \begin{bmatrix}  \mathbf{v}_1\\  1  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_2\\  1  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_3\\  1  \end{bmatrix} 是線性獨立的,也就是說,\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} 是仿射獨立集;(2) 第四行數值指出

\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_4\\  1  \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_1\\  1  \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_2\\  1  \end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}  \mathbf{v}_3\\  1  \end{bmatrix}

移除齊次座標常數 1 即得 \mathbf{v}_4 的仿射組合表達式。

 
最後我們想知道 \mathbf{v}_4 的仿射組合表達式是否唯一。類似線性獨立集給出唯一的線性組合 (見“線性獨立俱樂部”),仿射獨立集也給出唯一的仿射組合,陳述於下。

 
定理四:令 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 為一仿射獨立集,則每一 \mathbf{x}\in\mathrm{aff}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 僅有唯一的仿射組合表達式,亦即存在唯一數組 c_1,\ldots,c_k 使得

\mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k

c_1+\cdots+c_k=1

假設 c_1+\cdots+c_k=1d_1+\cdots+d_k=1 滿足 \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k\mathbf{x}=d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_k\mathbf{v}_k。令兩式相減,可得

(c_1-d_1)\mathbf{v}_1+\cdots+(c_k-d_k)\mathbf{v}_k=\mathbf{0}

其中組合權重總和為

(c_1-d_1)+\cdots+(c_k-d_k)=(c_1+\cdots+c_k)-(d_k+\cdots+d_k)=1-1=0

並可推論 c_i-d_i=0i=1,\ldots,k,否則 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 即為仿射相關集,因此證明仿射獨立集有唯一的仿射組合式。

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