答Louie──關於列等價矩陣家族的DNA

網友Louie留言:

老師你好,我有買你的教學光碟自修,謝謝你精采的講解,讓我有身歷其境的感覺。我在寫作業的時候遇到了點小問題:Problem-Set-4-2012 第五題。我只想到 \mathrm{span}\{[1,0,5,2],[6,0,1,2]\} 等於 N(A),我參考了老師PO的詳解, \mathrm{span}\{[1,0,5,2],[6,0,1,2]\}=\mathrm{span}\{[-5/4,0,1,0],[29/8,0,0,1]\},這裡我有點不解。確實可以用 a[1,0,5,2]+b[6,0,1,2]=[\ast,\ast,1,0] 比較係數求出來 [-5/4,0,1,0],但是我們如何確定free variable在 A 的第三行和第四行,如果free variable在 A 的第一行和第三行或者 A 的第一行和第四行,這樣求出來的 N 不就不同了?麻煩老師幫我指點迷津一下。

 
答曰:

我將原問題稍作簡化:已知 3\times 4 階矩陣 A 的零空間是

N(A)=\mathrm{span}\left\{\begin{bmatrix}  1\\  0\\  5\\  2  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  6\\  0\\  1\\  2  \end{bmatrix}\right\}

(1) 求一 A,(2) 求 A 的簡約列梯形式 (reduced row echelon form) R,(3) 求零空間矩陣 (nullspace matrix) N 使得 C(N)=N(R),亦即 N 的行空間等於 R 的零空間。

 
習題解答寫道 (ps4-sol-2012.pdf):

\mathrm{span}\left\{\begin{bmatrix}  1\\  0\\  5\\  2  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  6\\  0\\  1\\  2  \end{bmatrix}\right\}=\mathrm{span}\left\{\left[\!\!\begin{array}{r}  -\frac{5}{4}\\  0\\  1\\  0  \end{array}\!\!\right],\left[\!\!\begin{array}{c}  \frac{29}{8}\\  0\\  0\\  1  \end{array}\!\!\right]\right\}

立得 A=RN,如下:

R=\left[\!\!\begin{array}{cccr}  1&0&\frac{5}{4}&-\frac{29}{8}\\  0&1&0&0\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right],~~N=\left[\!\!\begin{array}{rc}  -\frac{5}{4}&\frac{29}{8}\\  0&0\\  1&0\\  0&1  \end{array}\!\!\right]

助教當然別有我們所莫測高深的妙法在,但她 (他) 們沒有留下隻字片語以供追索,多數人或許和我一樣至今依然參不透這妙法究竟為何。苦無他計,我們還是按部就班從回答第一個問題開始吧。

 
已知 3\times 4 階矩陣 A=[a_{ij}] 的零空間 N(A),如何求得 A?零空間是所有齊次方程 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 的解形成的集合,可知

A\begin{bmatrix}  1\\  0\\  5\\  2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0\\  0\\  0  \end{bmatrix},~~A\begin{bmatrix}  6\\  0\\  1\\  2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0\\  0\\  0  \end{bmatrix}

合併上面兩式,

A\begin{bmatrix}  1&6\\  0&0\\  5&1\\  2&2  \end{bmatrix}=0

現在要由上式解出 A,該怎麼做?如果一時沒有頭緒,請翻閱“《線代武功秘笈》首篇(下卷)”,秘笈中暗藏一招:「對方程式取轉置可對調兩矩陣位置」,即得

\begin{bmatrix}  1&0&5&2\\  6&1&0&2  \end{bmatrix}A^T=\begin{bmatrix}  1&0&5&2\\  6&1&0&2  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  a_{11}&a_{21}&a_{31}\\  a_{12}&a_{22}&a_{32}\\  a_{13}&a_{23}&a_{33}\\  a_{14}&a_{24}&a_{34}  \end{bmatrix}=0

上式指出 A^T 的行向量 (即 A 的列向量) 屬於 B=\begin{bmatrix}  1&0&5&2\\  6&0&1&2  \end{bmatrix} 的零空間,因此我們只要算出 N(B) 即可。運用基本列運算化簡 B

\begin{bmatrix}  1&0&5&2\\  6&0&1&2  \end{bmatrix}\to\left[\!\!\begin{array}{ccrr}  1&0&5&2\\  0&0&-29&-10  \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{cccc}  1&0&5&2\\  0&0&1&\frac{10}{29}  \end{array}\!\!\right]\to\begin{bmatrix}  1&0&0&\frac{8}{29}\\[0.3em]  0&0&1&\frac{10}{29}  \end{bmatrix}

從最後得到 B 的簡約列梯形式立知

N(B)=\mathrm{span}\left\{\begin{bmatrix}  0\\  1\\  0\\  0  \end{bmatrix},\left[\!\!\begin{array}{r}  -\frac{8}{29}\\  0\\  -\frac{10}{29}\\  1  \end{array}\!\!\right]\right\}

接下來是個人創意時間,A^T 的行向量是 N(B) 兩基底向量的任意線性組合。不過,根據秩─零度定理,\mathrm{rank}A+\dim N(A)=4,因此 \mathrm{rank}A^T=\mathrm{rank}A=4-2=2,也就是說 A^T 必須包含二線性獨立行向量。最直接的選擇方式是

A=\left[\!\!\begin{array}{rcrc}  0&1&0&0\\  -\frac{8}{29}&0&-\frac{10}{29}&1\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right]

繼續對上面矩陣操作基本列運算可產生無窮多符合題意的 A 矩陣,下面舉幾個例子:

\left[\!\!\begin{array}{rcrr}  0&3&0&0\\  -8&0&-10&29\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right],~\left[\!\!\begin{array}{crrr}  8&12&10&-29\\  0&6&0&0\\  0&4&0&0  \end{array}\!\!\right],~\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  8&12&10&-29\\  -16&0&-20&58\\  \frac{8}{29}&\frac{2}{29}&\frac{10}{29}&-1\\  \end{array}\!\!\right],\ldots

 
第二個問題是計算 A 的簡約列梯形式 R。這並不困難,以最初選擇的 A 矩陣為例,計算可得

\left[\!\!\begin{array}{rcrc}  0&1&0&0\\  -\frac{8}{29}&0&-\frac{10}{29}&1\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{cccr}  1&0&\frac{5}{4}&-\frac{29}{8}\\  0&1&0&0\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right]=R

但我們更感興趣的是:不同的 A 矩陣是否會產生不同的 R?所謂不同的 A 是指上述那些經過基本列運算產生的矩陣,我們稱這些矩陣列等價 (row equivalent)。因為 RA 經基本列運算而得,也就存在一可逆矩陣 M 使得 R=MA,故 RA 有相同的列空間,C(R^T)=C(A^T)。因為 R\mathbf{x}=\mathbf{0}A\mathbf{x}=\mathbf{0} 擁有相同的解空間,即知 N(R)=N(A)。既然列空間不變,矩陣秩 (等於列空間維數) 也不改變。所以,在基本列運算下的不變性質包括列空間、零空間與矩陣秩。根據列等價矩陣共有的這些性質,我們可以歸納出:列等價矩陣家族有相同 (唯一) 的簡約列梯形式 (見“矩陣的等價關係”)。上面求得的簡約列梯形式 R 揭示第一行和第二行為軸行,第三行和第四行為非軸行,也就是說,齊次方程 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 中未知向量 \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4) 的軸變數 (pivot variable) 是 x_1x_2,自由變數 (free variable) 則是 x_3x_4。這個事實不因基本列運算而改變。

 
第三個問題是求出對應 R 的零空間矩陣 N。零空間矩陣 N 具備下面三個性質 (見“行空間與零空間的互換表達”):(1) N 的行空間即為 R (也是所有列等價 A) 的零空間,C(N)=N(R),故知 RN=0。(2) N 的行向量總數等於自由變數總數,即 \dim N(A),因此本題 N 是一 4\times 2 階矩陣。(3) N 有線性獨立行向量,每一行對應自由變數的元等於 1,且其他行在相同列位置的元都等於 0,譬如,本題自由變數是 x_3x_4,則零空間矩陣具有下列形式:

N=\begin{bmatrix}  \ast&\ast\\  \ast&\ast\\  1&0\\  0&1  \end{bmatrix}

將簡約列梯形式 R 和零空間矩陣 N 以方塊矩陣表示:

R=\left[\!\!\begin{array}{cccr}  1&0&\frac{5}{4}&-\frac{29}{8}\\  0&1&0&0\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix}  I_2&F\\  0&0  \end{bmatrix},~~N=\begin{bmatrix}  \ast&\ast\\  \ast&\ast\\  1&0\\  0&1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  X\\  I_2  \end{bmatrix}

其中 F=\left[\!\!\begin{array}{cr}  \frac{5}{4}&-\frac{29}{8}\\  0&0  \end{array}\!\!\right]X2\times 2 階未知分塊。利用上述性質 (1),

RN=\begin{bmatrix}  I_2&F\\  0&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  X\\  I_2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  X+F\\  0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0\\  0  \end{bmatrix}

解出 X=-F,故得

N=\begin{bmatrix}  -F\\  I_2  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rc}  -\frac{5}{4}&\frac{29}{8}\\  0&0\\  1&0\\  0&1  \end{array}\!\!\right]

因為列等價矩陣家族有相同 (唯一) 的簡約列梯形式 R,而 R 完全決定 N,所以家族成員也有相同 (唯一) 的零空間矩陣 N。習題解答給出的兩個零空間基底向量正是 N 的行向量。最後我將列等價矩陣家族的相同DNA整理於下:(1) 列空間,(2) 零空間,(3) 簡約列梯形式,(4) 零空間矩陣。

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12 Responses to 答Louie──關於列等價矩陣家族的DNA

  1. Louie 說道:

    謝周大俠開示

  2. Chenlogy 說道:

    我想我大概知道助教是如何解題…
    請原諒我目前還不會線代與Latex,
    過程有錯請儘管說
    從題義(R=4X3 及 ^{X{2}=0} 和 span兩個向量)
    可得知矩陣最少長下面這樣且有兩自由變數
    \begin{Bmatrix}
    *& *& *& *\\
    0& 1& 0& 0\\
    0& 0& 0& 0
    \end{Bmatrix}
    把span向量中隨意挑兩個變數當做自由變數化簡向量
    \begin{Bmatrix}
    1&6 \\
    0&0 \\
    5&1 \\
    2&2
    \end{Bmatrix}
    變成(我拿\{X}_1\ 及 \{X}_2\)當自由變數
    \begin{Bmatrix}
    1&0 \\
    0&0 \\
    -\frac{4}{5}&\frac{29}{10} \\
    0&1
    \end{Bmatrix}
    得到R
    \begin{Bmatrix}
    \frac{-8}{10}&0 &1 &\frac{29}{10} \\
    0&1 &0 &0 \\
    0&0 &0 &0
    \end{Bmatrix}
    就是
    \begin{Bmatrix}
    \1&0 &\frac{5}{4} &\frac{-29}{8} \\
    0&1 &0 &0 \\
    0&0 &0 &0
    \end{Bmatrix}
    然後取Null(R)便得N

    我想助教的答案會不會是這樣來的.

  3. ccjou 說道:

    以下是Chenlogy先前的迴響,LaTex語法前加入$latex,結束時輸入$。

    我想我大概知道助教是如何解題…
    請原諒我目前還不會線代與Latex,
    過程有錯請儘管說
    從題義(R=4X3 及 ^{X{2}=0} 和 span兩個向量)
    可得知矩陣最少長下面這樣且有兩自由變數
    \begin{bmatrix} *& *& *& *\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0 \end{bmatrix}
    把span向量中隨意挑兩個變數當做自由變數化簡向量
    \begin{bmatrix} 1&6 \\ 0&0 \\ 5&1 \\ 2&2 \end{bmatrix}
    變成(我拿\{X}_1\ 及 \{X}_4\)當自由變數
    \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \\ -\frac{4}{5}&\frac{29}{10} \\ 0&1 \end{bmatrix}
    得到R
    \begin{bmatrix} \frac{-8}{10}&0 &1 &\frac{29}{10} \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &0 &0 \end{bmatrix}
    (註:此矩陣有誤,應為 \begin{bmatrix} \frac{8}{10}&0 &1 &-\frac{29}{10} \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &0 &0 \end{bmatrix})
    就是
    \begin{bmatrix} 1&0 &\frac{5}{4} &\frac{-29}{8} \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &0 &0 \end{bmatrix}
    然後取Null(R)便得N

    我想助教的答案會不會是這樣來的.

    • ccjou 說道:

      整個過程並沒有錯,依循的推論仍然是 N(A)\to A\to R\to N。最初假設的擴張形式是零空間的表達方式之一,但並不意味自由變數就真的是 x_1x_4。最後得到的 R 矩陣顯示自由變數是 x_3x_4

      問題:有沒有可能跳過 R,從 N(A) 直接得到對應的零空間矩陣 N

      • Chenlogy 說道:

        我覺得是可以的
        先將向量寫作矩陣再轉置
        \begin{Bmatrix}  6& 0& 1&2\\  1& 0& 5&2   \end{Bmatrix}
        口訣" 取其他兩行做行列式後乘負1″—-
        8 = (-)
        \begin{Bmatrix}  1&2\\  5&2   \end{Bmatrix}
        得到
        \begin{Bmatrix}  8& 0& -10&-29   \end{Bmatrix}
        答案很明顯
        引用來源(工程數學 — 陳立)
        但我覺得這樣數學上不是很嚴謹, 教授願意說明何故嗎?

        • ccjou 說道:

          你寫的是向量積 (外積) 計算公式,乘以 -1 只是改變方向,見
          https://ccjou.wordpress.com/2009/11/27/%E5%86%8D%E8%AB%87%E5%85%8B%E6%8B%89%E7%91%AA%E5%85%AC%E5%BC%8F%E7%9A%84%E8%AD%89%E6%98%8E/

          列空間是零空間的正交補集。因為給出的兩向量第二元都等於零,所以確實可以由 (6,1,2)(1,5,2) 的外積 (8, 10, -29) 得到列空間的一個向量 (8, 0, 10, -29),但這個方法只能得到一個向量,而且僅適用於三維向量。

          不過,這還是在計算列空間表達矩陣 R,不是嗎?我的疑問是:助教們是否當真神功附體,火眼金睛看出自由變數是 x_3x_4,故而 (不計算 R) 使用基本列運算將 \begin{bmatrix} 1&0&5&2\\ 6&0&1&2 \end{bmatrix} 化簡成下列形式 \begin{bmatrix} \ast&\ast&1&0\\ \ast&\ast&0&1 \end{bmatrix}?如下:
          \begin{bmatrix} 6&0&1&2\\ 1&0&5&2 \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} 6&0&1&2\\ -29&0&0&-8 \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} 6&0&1&2\\ 29/8&0&0&1 \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} -5/4&0&1&0\\ 29/8&0&0&1 \end{bmatrix}
          還是助教們其實背地裡採用如本文所述方法計算,習題解答不過是倒果為因,故弄玄虛罷了?

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