## 答Louie──關於列等價矩陣家族的DNA

$N(A)=\mathrm{span}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 5\\ 2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 6\\ 0\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}\right\}$

(1) 求一 $A$，(2) 求 $A$ 的簡約列梯形式 (reduced row echelon form) $R$，(3) 求零空間矩陣 (nullspace matrix) $N$ 使得 $C(N)=N(R)$，亦即 $N$ 的行空間等於 $R$ 的零空間。

$\mathrm{span}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 5\\ 2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 6\\ 0\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}\right\}=\mathrm{span}\left\{\left[\!\!\begin{array}{r} -\frac{5}{4}\\ 0\\ 1\\ 0 \end{array}\!\!\right],\left[\!\!\begin{array}{c} \frac{29}{8}\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\!\!\right]\right\}$

$R=\left[\!\!\begin{array}{cccr} 1&0&\frac{5}{4}&-\frac{29}{8}\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right],~~N=\left[\!\!\begin{array}{rc} -\frac{5}{4}&\frac{29}{8}\\ 0&0\\ 1&0\\ 0&1 \end{array}\!\!\right]$

$A\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 5\\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},~~A\begin{bmatrix} 6\\ 0\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix} 1&6\\ 0&0\\ 5&1\\ 2&2 \end{bmatrix}=0$

$\begin{bmatrix} 1&0&5&2\\ 6&1&0&2 \end{bmatrix}A^T=\begin{bmatrix} 1&0&5&2\\ 6&1&0&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11}&a_{21}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\\ a_{14}&a_{24}&a_{34} \end{bmatrix}=0$

$\begin{bmatrix} 1&0&5&2\\ 6&0&1&2 \end{bmatrix}\to\left[\!\!\begin{array}{ccrr} 1&0&5&2\\ 0&0&-29&-10 \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{cccc} 1&0&5&2\\ 0&0&1&\frac{10}{29} \end{array}\!\!\right]\to\begin{bmatrix} 1&0&0&\frac{8}{29}\\[0.3em] 0&0&1&\frac{10}{29} \end{bmatrix}$

$N(B)=\mathrm{span}\left\{\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\left[\!\!\begin{array}{r} -\frac{8}{29}\\ 0\\ -\frac{10}{29}\\ 1 \end{array}\!\!\right]\right\}$

$A=\left[\!\!\begin{array}{rcrc} 0&1&0&0\\ -\frac{8}{29}&0&-\frac{10}{29}&1\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]$

$\left[\!\!\begin{array}{rcrr} 0&3&0&0\\ -8&0&-10&29\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right],~\left[\!\!\begin{array}{crrr} 8&12&10&-29\\ 0&6&0&0\\ 0&4&0&0 \end{array}\!\!\right],~\left[\!\!\begin{array}{rrrr} 8&12&10&-29\\ -16&0&-20&58\\ \frac{8}{29}&\frac{2}{29}&\frac{10}{29}&-1\\ \end{array}\!\!\right],\ldots$

$\left[\!\!\begin{array}{rcrc} 0&1&0&0\\ -\frac{8}{29}&0&-\frac{10}{29}&1\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{cccr} 1&0&\frac{5}{4}&-\frac{29}{8}\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]=R$

$N=\begin{bmatrix} \ast&\ast\\ \ast&\ast\\ 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$

$R=\left[\!\!\begin{array}{cccr} 1&0&\frac{5}{4}&-\frac{29}{8}\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix} I_2&F\\ 0&0 \end{bmatrix},~~N=\begin{bmatrix} \ast&\ast\\ \ast&\ast\\ 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} X\\ I_2 \end{bmatrix}$

$RN=\begin{bmatrix} I_2&F\\ 0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X\\ I_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} X+F\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$

$N=\begin{bmatrix} -F\\ I_2 \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rc} -\frac{5}{4}&\frac{29}{8}\\ 0&0\\ 1&0\\ 0&1 \end{array}\!\!\right]$

### 12 Responses to 答Louie──關於列等價矩陣家族的DNA

1. Louie 說道：

謝周大俠開示

• ccjou 說道：

多禮了。祝中秋佳節愉快！

2. Chenlogy 說道：

我想我大概知道助教是如何解題…
請原諒我目前還不會線代與Latex,
過程有錯請儘管說
從題義(R=4X3 及 ^{X{2}=0} 和 span兩個向量)
可得知矩陣最少長下面這樣且有兩自由變數
\begin{Bmatrix}
*& *& *& *\\
0& 1& 0& 0\\
0& 0& 0& 0
\end{Bmatrix}
把span向量中隨意挑兩個變數當做自由變數化簡向量
\begin{Bmatrix}
1&6 \\
0&0 \\
5&1 \\
2&2
\end{Bmatrix}
變成(我拿\{X}_1\ 及 \{X}_2\)當自由變數
\begin{Bmatrix}
1&0 \\
0&0 \\
-\frac{4}{5}&\frac{29}{10} \\
0&1
\end{Bmatrix}
得到R
\begin{Bmatrix}
\frac{-8}{10}&0 &1 &\frac{29}{10} \\
0&1 &0 &0 \\
0&0 &0 &0
\end{Bmatrix}
就是
\begin{Bmatrix}
\1&0 &\frac{5}{4} &\frac{-29}{8} \\
0&1 &0 &0 \\
0&0 &0 &0
\end{Bmatrix}
然後取Null(R)便得N

我想助教的答案會不會是這樣來的.

• Chenlogy 說道：

糟了LAtex弄不出來

• ccjou 說道：

• Chenlogy 說道：

當然可以, 不好意思麻煩教授, 真是抱歉!

• Chenlogy 說道：

變成(我拿\{X}_1\ 及 \{X}_4\)當自由變數 <—- 要改成這樣 一時不察,打錯字!

3. ccjou 說道：

以下是Chenlogy先前的迴響，LaTex語法前加入$latex，結束時輸入$。

我想我大概知道助教是如何解題…
請原諒我目前還不會線代與Latex,
過程有錯請儘管說
從題義(R=4X3 及 ^{X{2}=0} 和 span兩個向量)
可得知矩陣最少長下面這樣且有兩自由變數
$\begin{bmatrix} *& *& *& *\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0 \end{bmatrix}$
把span向量中隨意挑兩個變數當做自由變數化簡向量
$\begin{bmatrix} 1&6 \\ 0&0 \\ 5&1 \\ 2&2 \end{bmatrix}$
變成(我拿\{X}_1\ 及 \{X}_4\)當自由變數
$\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0 \\ -\frac{4}{5}&\frac{29}{10} \\ 0&1 \end{bmatrix}$
得到R
$\begin{bmatrix} \frac{-8}{10}&0 &1 &\frac{29}{10} \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &0 &0 \end{bmatrix}$
(註：此矩陣有誤，應為 $\begin{bmatrix} \frac{8}{10}&0 &1 &-\frac{29}{10} \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &0 &0 \end{bmatrix}$)
就是
$\begin{bmatrix} 1&0 &\frac{5}{4} &\frac{-29}{8} \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &0 &0 \end{bmatrix}$
然後取Null(R)便得N

我想助教的答案會不會是這樣來的.

• ccjou 說道：

整個過程並沒有錯，依循的推論仍然是 $N(A)\to A\to R\to N$。最初假設的擴張形式是零空間的表達方式之一，但並不意味自由變數就真的是 $x_1$$x_4$。最後得到的 $R$ 矩陣顯示自由變數是 $x_3$$x_4$

問題：有沒有可能跳過 $R$，從 $N(A)$ 直接得到對應的零空間矩陣 $N$

• Chenlogy 說道：

我覺得是可以的
先將向量寫作矩陣再轉置
$\begin{Bmatrix} 6& 0& 1&2\\ 1& 0& 5&2 \end{Bmatrix}$
口訣" 取其他兩行做行列式後乘負1″—-
8 = (-)
$\begin{Bmatrix} 1&2\\ 5&2 \end{Bmatrix}$
得到
$\begin{Bmatrix} 8& 0& -10&-29 \end{Bmatrix}$
答案很明顯
引用來源(工程數學 — 陳立)
但我覺得這樣數學上不是很嚴謹, 教授願意說明何故嗎?

• ccjou 說道：

你寫的是向量積 (外積) 計算公式，乘以 $-1$ 只是改變方向，見
列空間是零空間的正交補集。因為給出的兩向量第二元都等於零，所以確實可以由 $(6,1,2)$$(1,5,2)$ 的外積 $(8, 10, -29)$ 得到列空間的一個向量 $(8, 0, 10, -29)$，但這個方法只能得到一個向量，而且僅適用於三維向量。
不過，這還是在計算列空間表達矩陣 $R$，不是嗎？我的疑問是：助教們是否當真神功附體，火眼金睛看出自由變數是 $x_3$$x_4$，故而 (不計算 $R$) 使用基本列運算將 $\begin{bmatrix} 1&0&5&2\\ 6&0&1&2 \end{bmatrix}$ 化簡成下列形式 $\begin{bmatrix} \ast&\ast&1&0\\ \ast&\ast&0&1 \end{bmatrix}$？如下：
$\begin{bmatrix} 6&0&1&2\\ 1&0&5&2 \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} 6&0&1&2\\ -29&0&0&-8 \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} 6&0&1&2\\ 29/8&0&0&1 \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} -5/4&0&1&0\\ 29/8&0&0&1 \end{bmatrix}$
$\begin{Bmatrix} 1& 0& *& *\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0 \end{Bmatrix}$