可逆矩陣之左逆矩陣等同右逆矩陣的證明

本文的閱讀等級:中級

A 為一個 n\times n 階矩陣。若存在一個 n\times n 階矩陣 B 使得 BA=IAB=I,我們稱 A 是可逆矩陣 (invertible matrix),並稱 BA 的逆矩陣 (inverse,或稱反矩陣),記作 A^{-1}。以上是多數線性代數教科書採用的逆矩陣定義。為了使定義完備,滿足前述關係的 B 必定由 A 唯一決定。假設 A 有左逆矩陣 B 使得 BA=I,且 A 有右逆矩陣 C 使得 AC=I,運用矩陣代數不難證明左逆矩陣 B 等同右逆矩陣 C,如下:

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

傳統的逆矩陣定義聲明 A 的左逆矩陣和右逆矩陣同時存在,但既然可逆矩陣的左逆和右逆確係相同,那麼何不採行更簡明的定義方式?譬如,若存在一個 n\times n 階矩陣 B 使得 AB=IB 即為 A 的逆矩陣。如果我們接受這個新定義,緊接著就應當證明:若 AB=I,則 BA=I。不過,證明過程不得假設 A 的左逆矩陣存在,否則新定義便與傳統定義無異。下面介紹基於簡約列梯形式、矩陣秩、基底、線性變換和 Cayley-Hamilton 定理的不同證明方法。如果讀者知道其他證法,也歡迎補充添加。

 
1. 簡約列梯形式

X 為一個 n\times n 階未知矩陣,AB=I 說明 B 是線性方程 AX=I 的解。明顯地,B 也是 IX=B 的解。基本列運算的作用即在將增廣矩陣 \begin{bmatrix}  A&I  \end{bmatrix} 化為簡約列梯形式 \begin{bmatrix}  I&B  \end{bmatrix} (見“三階逆矩陣公式”),表示如下:

\begin{bmatrix}  A&I  \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}  I&B  \end{bmatrix}

其中 \sim 代表列等價關係 (見“矩陣的等價關係”)。換句話說,存在一可逆矩陣 E,即對應基本列運算的基本矩陣乘積,使得

E\begin{bmatrix}  A&I  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I&B  \end{bmatrix}

乘開上式,比較等號兩邊分塊可得 EA=IE=B,合併即得 BA=I。另外,我們也可以使用列等價性質推演。列等價具有對稱性,\begin{bmatrix}  I&B  \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}  A&I  \end{bmatrix},又置換矩陣的行向量不改變列等價關係,就有 \begin{bmatrix}  B&I  \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}  I&A  \end{bmatrix},即知 ABX=I 的解,因此得證。

 
2. 矩陣秩

AB=I 立得 \mathrm{rank}(AB)=\mathrm{rank}I=n。利用矩陣秩性質 \mathrm{rank}(AB)\le\mathrm{rank}B,可知 \mathrm{rank}B=n。寫出

B=BI=B(AB)=(BA)B

就有 (I-BA)B=0。因為 \dim C(B)=\mathrm{rank}B=nB 的行空間充滿 \mathbb{C}^n,故對於任一 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n,恆有 (I-BA)\mathbf{x}=\mathbf{0},也就是說 N(I-BA)=\mathbb{C}^n。引用秩─零度定理,\mathrm{rank}(I-BA)+\dim N(I-BA)=n,即知 \mathrm{rank}(I-BA)=0,也就證得 BA=I

 
3. 基底

\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}\mathbb{C}^n 的一組基底。考慮 c_1B\mathbf{x}_1+\cdots+c_nB\mathbf{x}_n=\mathbf{0},左乘 Ac_1(AB)\mathbf{x}_1+\cdots+c_n(AB)\mathbf{x}_n=\mathbf{0},再代入 AB=I,可得 c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=\mathbf{0}。因為 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是線性獨立集,就有 c_1=\cdots=c_n=0,即知 \{B\mathbf{x}_1,\ldots,B\mathbf{x}_n\} 也是線性獨立集,故為 \mathbb{C}^n 的一組基底。對於任一 \mathbf{y}\in\mathbb{C}^n,存在 d_1,\ldots,d_n 使得

\mathbf{y}=d_1(B\mathbf{x}_1)+\cdots+d_n(B\mathbf{x}_n)=B(d_1\mathbf{x}_1+\cdots+d_n\mathbf{x}_n)=B\mathbf{x}

其中 \mathbf{x}=d_1\mathbf{x}_1+\cdots+d_n\mathbf{x}_n。上式左乘 BA,化簡可得

BA\mathbf{y}=BA(B\mathbf{x})=B(AB)\mathbf{x}=BI\mathbf{x}=B\mathbf{x}=\mathbf{y}

改寫為 (BA-I)\mathbf{y}=\mathbf{0}。如證法 (2) 論述,可推得 BA=I

 
4. 線性變換

n\times n 階矩陣 B 視為 \mathbb{C}^n 映至 \mathbb{C}^n 的線性變換。考慮下列三個命題:

(a) 若 AB=I,則 B 是一對一 (one-to-one),或稱單射 (injective)。
(b) 若 B 是一對一,則 B 是滿射 (onto, surjective)。
(c) 若 B 是滿射,則 BA=I

合併這三個命題,(a)\Rightarrow(b)\Rightarrow(c),即證得所求。下面是詳細證明。(a) 令 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n,若 B\mathbf{x}=B\mathbf{y},左乘 A,因為 AB=I,即得 \mathbf{x}=\mathbf{y},所以 B 是一對一。(b) 若 B 是一對一,除了 \mathbf{x}=\mathbf{0},不可能有其他 (非零) 向量 \mathbf{x} 使得 B\mathbf{x}=\mathbf{0},因此 N(B)=\{\mathbf{0}\} 。根據秩─零度定理,\mathrm{rank}B+\dim N(B)=n,可知 \mathrm{rank}B=n,也就有 \dim C(B)=\mathrm{rank}B=n,矩陣 B 的行空間充滿 \mathbb{C}^n。(c) 若 B 是滿射,則對於任一 \mathbf{y}\in\mathbb{C}^n,存在 \mathbf{x} 使得 \mathbf{y}=B\mathbf{x}。同證法 (3),可得 BA=I

 
5. Cayley-Hamilton 定理

Cayley-Hamilton 定理說 (見“Cayley-Hamilton 定理”):任一 n\times n 階矩陣 B 都被其特徵多項式 p(t) 所消滅,即 p(B)=0。令 p(t)=b_nt^n+\cdots+b_1t+b_0,且 j 為最小整數使得 b_j\neq 0 (b_0=\cdots=b_{j-1}=0),則

p(B)=b_nB^n+\cdots+b_{j+1}B^{j+1}+b_jB^j=0

上式左乘 A^j,並利用 A^jB^j=A^{j-1}(AB)B^{j-1}=A^{j-1}B^{j-1}=\cdots=AB=I,就有

\begin{aligned}  0&=A^jp(B)\\  &=A^j(b_nB^n+\cdots+b_{j+1}B^{j+1}+b_jB^j)\\  &=b_nA^jB^n+\cdots+b_{j+1}A^jB^{j+1}+b_jA^jB^j\\  &=b_nB^{n-j}+\cdots+b_{j+1}B+b_jI.\end{aligned}

另外,對於 k>0

(BA-I)B^k=BAB^k-B^k=B(AB)B^{k-1}-B^k=BIB^{k-1}-B^k=0

綜合以上結果,可得

\begin{aligned}  0&=(BA-I)A^jp(B)\\  &=(BA-I)(b_nB^{n-j}+\cdots+b_{j+1}B+b_jI)\\  &=b_n(BA-I)B^{n-j}+\cdots+b_{j+1}(BA-I)B+b_j(BA-I)\\  &=b_j(BA-I),\end{aligned}

b_j 不為零,因此證明 BA=I

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