每週問題 October 15, 2012

本週問題是證明一個常用的重要性質:可逆矩陣變換不改變向量集的線性獨立關係。

Let A be an n\times n matrix and \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\in\mathbb{C}^n be linearly independent. Show
that A is nonsingular if and only if A\mathbf{v}_1,\ldots, A\mathbf{v}_n are linearly independent.

 
參考解答:

A 是可逆矩陣,考慮

c_1A\mathbf{v}_1 +\cdots + c_nA\mathbf{v}_n = \mathbf{0}

左乘 A^{-1} 即得 c_1\mathbf{v}_1 +\cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}。 因為 \mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n 為一線性獨立集,可知 c_1=\cdots=c_n=0,因此證明 A\mathbf{v}_1,\ldots,A\mathbf{v}_n 線性獨立。另一方面,若 A 不可逆,則存在 \mathbf{x}=d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_n\mathbf{v}_n\neq\mathbf{0} 使得 A\mathbf{x}=\mathbf{0}。換句話說,d_1,\ldots,d_n 不全為零,且

A(d_1\mathbf{v}_1 +\cdots + d_n\mathbf{v}_n) = d_1A\mathbf{v}_1 +\cdots + d_nA\mathbf{v}_n = \mathbf{0}

這指出 A\mathbf{v}_1,\ldots,A\mathbf{v}_n 線性相關。

PowSol-Oct-15-12

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2 則回應給 每週問題 October 15, 2012

  1. 张发幼 說:

    令V=[V1,V2,..Vn],R(AV)<=min{R(A),R(V)},如果AV独立,R(AV)=n,又因为R(V)=n,所以R(A)=n. 2.如果A可逆,R(A)=n,又R(V)=n 所以R(AV)=n,证毕。

    • ccjou 說:

      這裡的 R(A) 是指 rank(A) 而非 Range(A)。補充說明:“可逆矩陣變換不改變向量集的線性獨立關係”可用來推論:可逆矩陣變換不改變矩陣秩,即 rank(AV)=rank(V)。但如果不使用 R(A)=n 和 R(V)=n→R(AV)=n,如何能證明 R(AV)=n?

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