答延伸寸──關於線性方程的通解表達

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本文 (“仿射組合與仿射空間”) 意猶未竟。要如何利用文中的定理來解答下列 link 的第一題呢?
http://www.lic.nkfust.edu.tw/ezfiles/5/1005/img/791/982131.pdf
我覺得這一題出得很好。計算不難但若觀念不全通(我就是)的同學解起來會很困難。我甚至建議周老師為本題寫一篇通脈文。

 
答曰:

我將問題抄錄於下:一線性方程的通解可表示為

\begin{bmatrix}  5\\  0\\  0  \end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}  2\\  1\\  0  \end{bmatrix}+t\left[\!\!\begin{array}{r}  -3\\  0\\  1  \end{array}\!\!\right]

\begin{bmatrix}  \alpha\\  5\\  4  \end{bmatrix}+s\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  \beta\\  -3  \end{array}\!\!\right]+t\begin{bmatrix}  1\\  2\\  \gamma  \end{bmatrix}

其中 st 是任意參數。求 \alpha, \beta\gamma

 
我們先回顧關於通解的一些基本知識。考慮線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b},將此題給出的第一個通解用符號表示為 \mathbf{x}=\mathbf{x}_p+s\mathbf{x}_1+t\mathbf{x}_2,其中 \mathbf{x}_p 是任一特解滿足 A\mathbf{x}_p=\mathbf{b}\mathbf{x}_1\mathbf{x}_2 組合出所有的齊次解 \mathbf{x}_h=s\mathbf{x}_1+t\mathbf{x}_2 滿足 A\mathbf{x}_h=sA\mathbf{x}_1+tA\mathbf{x}_2=\mathbf{0}。換一個說法, A 的零空間 N(A) 即為 \mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}。明顯地,通解有無窮多種表達方式,譬如,此題給出的第二個通解 \mathbf{y}=\mathbf{y}_p+c\mathbf{y}_1+d\mathbf{y}_2,這裡我們使用符號 \mathbf{y}c,d 以便與第一個通解區別。通解 \mathbf{x}\mathbf{y} 都描述相同的解集合,因此它們可以互換表達。解出 \alpha,\beta,\gamma 的關鍵即在於聯繫兩通解表達式的特解和齊次解,下面分開討論:(1) 特解 \mathbf{y}_p 可由第一個通解表示,即存在 st 使得

\mathbf{y}_p=\mathbf{x}_p+s\mathbf{x}_1+t\mathbf{x}_2

或寫為

\mathbf{y}_p-\mathbf{x}_p=s\mathbf{x}_1+t\mathbf{x}_2

上式也說明任何兩特解相減得到的向量屬於 N(A)。這是一個相當有用但卻常被忽略的性質,稍後會再解釋。(2) 零空間 N(A) 由齊次解 \mathbf{x}_1\mathbf{x}_2 擴張而成,同樣也可由 \mathbf{y}_1\mathbf{y}_2 擴張,

N(A)=\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}=\mathrm{span}\{\mathbf{y}_1,\mathbf{y}_2\}

故可推論存在 {s}'{t}'{s}''{t}'' 使得

\begin{aligned}  \mathbf{y}_1&={s}'\mathbf{x}_1+{t}'\mathbf{x}_2\\  \mathbf{y}_2&={s}''\mathbf{x}_1+{t}''\mathbf{x}_2.  \end{aligned}

 
將數值代入計算,\alpha,\beta,\gamma 必須使下列線性方程有解:

\begin{aligned}  &\left[\!\!\begin{array}{cr}  2&-3\\  1&0\\  0&1  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  s\\  t  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \alpha-5\\  5\\  4  \end{bmatrix}\\   &\left[\!\!\begin{array}{cr}  2&-3\\  1&0\\  0&1  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  {s}'\\  {t}'  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  \beta\\  -3  \end{array}\!\!\right]\\  &\left[\!\!\begin{array}{cr}  2&-3\\  1&0\\  0&1  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  {s}''\\  {t}''  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1\\  2\\  \gamma  \end{bmatrix}.\end{aligned}

上面三個方程式有相同的係數矩陣,因此可以一併處理。寫出增廣矩陣,以基本列運算化簡,可得

\begin{aligned}  \left[\!\!\begin{array}{crccrc}  2&-3&\vline&\alpha-5&1&1\\  1&0&\vline&5&\beta&2\\  0&1&\vline&4&-3&\gamma  \end{array}\!\!\right]&\to\left[\!\!\begin{array}{crccrc}  1&0&\vline&5&\beta&2\\  0&1&\vline&4&-3&\gamma\\  2&-3&\vline&\alpha-5&1&1  \end{array}\!\!\right]\\  &\to\left[\!\!\begin{array}{cccccc}  1&0&\vline&5&\beta&2\\  0&1&\vline&4&-3&\gamma\\  0&0&\vline&\alpha-3&-2\beta-8&3\gamma-3  \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

若三個方程式都是一致的 (consistent),則簡約列梯形式有完整的零列,由此即解出答案:

\left\{\begin{array}{rc}  \alpha-3\!&=0 \\   -2\beta-8\!&=0\\  3\gamma-3\!&=0   \end{array}\right.~~~\Rightarrow~~~\left\{\begin{array}{cl}  \alpha\!&=3\\   \beta\!&=-4\\  \gamma\!&=1.  \end{array}\right.

 
以上是多數讀者熟悉的推理方式。另外,我們也可以採用仿射空間觀點來解題。線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的所有解構成的向量集稱為仿射空間,表示如下:

\mathcal{S}=\mathcal{W}+\mathbf{p}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\{\mathbf{w}+\mathbf{p}\vert\mathbf{w}\in\mathcal{W}\}

其中 \mathcal{W}=N(A)\mathbf{p} 是任一特解 (即 \mathcal{S} 中任一向量)。我們需要這個性質 (見 “仿射組合與仿射空間”,合併定理一和定理二):若 \mathcal{W}=\mathrm{span}\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_k\},對於每一 \mathbf{x}\in\mathcal{S}\mathbf{x}-\mathbf{p} 必可表示為 \mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_k 的線性組合。用特解和齊次解語彙來說,任何兩特解相減的結果必是齊次解 (即屬於零空間 N(A))。據此,寫出第一個通解表示的仿射空間 \mathcal{S}=\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}+\mathbf{x}_p,則對於每一 \mathbf{y}\in\mathcal{S}\mathbf{y}-\mathbf{x}_p 可寫成 \mathbf{x}_1\mathbf{x}_2 的線性組合。為求出 \alpha,\beta,\gamma,分別令 \mathbf{y}=\mathbf{y}_p\mathbf{y}=\mathbf{x}_p+\mathbf{y}_1 (將特解 \mathbf{y}_p 替換為 \mathbf{x}_p 以簡化計算),和 \mathbf{y}=\mathbf{x}_p+\mathbf{y}_2,即得

\begin{aligned}  \mathbf{y}_p-\mathbf{x}_p&\in\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}\\  \mathbf{y}_1&\in\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}\\  \mathbf{y}_2&\in\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\}.  \end{aligned}

 
最後補充一個較為便捷的計算方法。此題 N(A)\mathbb{R}^3 中穿越原點的一個平面,令 \mathbf{n} 代表法向量,就有 \mathrm{span}\{\mathbf{n}\}=N(A)^{\perp},故任一 \mathbf{z}\in N(A) 滿足 \mathbf{z}^T\mathbf{n}=0。計算可得 \mathbf{n}=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -2\\  3  \end{array}\!\!\right],所以

\begin{aligned}  &(\mathbf{y}_p-\mathbf{x}_p)^T\mathbf{n}=\begin{bmatrix}  \alpha-5 &5&4  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -2\\  3  \end{array}\!\!\right]=\alpha-5-10+12=\alpha-3=0\\  &\mathbf{y}_1^T\mathbf{n}=\begin{bmatrix}  1&\beta&-3  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -2\\  3  \end{array}\!\!\right]=1-2\beta-9=-2\beta-8=0\\  &\mathbf{y}_2^T\mathbf{n}=\begin{bmatrix}  1&2&\gamma  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -2\\  3  \end{array}\!\!\right]=1-4+3\gamma=3\gamma-3=0.\end{aligned}

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1 則回應給 答延伸寸──關於線性方程的通解表達

  1. 延伸寸 說:

    哇,大師出手,就是不一樣! 本題所應用的觀念很有價值。一般書本及授課講師著墨不多。

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