每週問題 October 22, 2012

本週問題是證明兩個特殊子空間的直和等於 \mathbb{R}^n

Let \mathcal{V} be the solution space of

x_1 + x_2 +\cdots + x_n = 0

and \mathcal{W} be the solution space of

x_1 = x_2 = \cdots = x_n,

where x_i \in\mathbb{R}, i = 1, \ldots, n. Show that \mathcal{V}\oplus\mathcal{W}=\mathbb{R}^n.

 
參考解答:

欲證明 \mathcal{V}\oplus\mathcal{W}=\mathbb{R}^n,只需要證明 \dim\mathcal{V}+\dim\mathcal{W}=n\mathcal{V}\cap\mathcal{W}=\{\mathbf{0}\} 即可。第一式 x_1+x_2+\cdots+ x_n=0 包含 n 個未知變數,故 \dim\mathcal{V}=n-1。第二組線性方程的解為 x_1 = x_2 =\cdots = x_n = \alpha, 故 \dim\mathcal{W}=1。再將 x_1 = x_2 =\cdots = x_n = \alpha 代入第一式,就有 \alpha+\alpha +\cdots + \alpha = 0, 得到 \alpha = 0, 即證明 \mathcal{V}\cap\mathcal{W}=\{\mathbf{0}\}

PowSol-Oct-22-12

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