行列式的列行取代運算

本文的閱讀等級:初級

看下面這個問題:已知13282,28565,57971,68382,和94279被29整除。令

A=\begin{bmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  2&5&1&2&9  \end{bmatrix}

在不實際算出行列式的前提下,證明 \det A 也被29整除。

 
令第1,2,3,4列 (row) 依序分別乘以 10^4,10^3,10^2,10,加進第5列不改變行列式的值,就有

\det A=\begin{vmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  13282&28565&57971&68382&94279  \end{vmatrix}

從第5列提出公因數29,即證得 \det A 是29的倍數。

 
行列式存在兩種不改變其值的運算。一般而言,一列 (行) 的 k (k\neq 1) 倍「加上」另一列 (行) 會改變行列式的值,如下所示:

\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}\neq\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  ka_{j1}+a_{i1}&ka_{j2}+a_{i2}&\cdots&ka_{jn}+a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}

然而,一列 (行) 的 k 倍「加進」另一列 (行) 卻不改變行列式的值:

\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  ka_{i1}+a_{j1}&ka_{i2}+a_{j2}&\cdots&ka_{in}+a_{jn}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}

或者說,基本列 (行) 運算的列 (行) 取代運算不改變行列式的值。除此之外,轉置運算也不改變行列式的值,即 \det A=\det A^T。因為行列式的所有性質同時適用於列與行,故不難理解行列式的值不因轉置 (行列互換) 而變更。以下將討論重點放在列 (行) 取代運算的行列式不變性上。

 
為相互參照,將上面的例子重抄於下:

\begin{vmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  2&5&1&2&9  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  13280+2&28560+5&57970+1&68380+2&94270+9  \end{vmatrix}

儘管等號右邊有如此「顯著」的數字加進第5列,行列式的值卻絲毫未發生變化。佛經說:「諸法空相。」套用在行列式莫非是指一列 (行) 隨意伸縮再加進他列 (行),表面所見的形變只是假象罷了?確實如此。從行列式的值來看,一切列 (行) 取代,「如夢幻泡影,如露亦如電,應作如是觀」。為了認清這個事實,下面介紹從三種不同角度切入的證明方法。

 
(1) 行列式是列 (行) 的線性函數

行列式是列 (行) 的線性函數;當二列 (行) 相同時,行列式的值等於零。利用這兩個性質,即得

\begin{aligned}\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  ka_{i1}+a_{j1}&ka_{i2}+a_{j2}&\cdots&ka_{in}+a_{jn}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}\\  &=k\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}\\  &=\begin{vmatrix}  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\  \vdots&\vdots&&\vdots\\  a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\  \vdots&\vdots&&\vdots  \end{vmatrix}.  \end{aligned}

 
(2) det(XY)=(det X)(det Y)

以上述問題為例,寫出列取代運算的矩陣表達式:

\begin{bmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  13282&28565&57971&68382&94279  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&0&0&0&0\\  0&1&0&0&0\\  0&0&1&0&0\\  0&0&0&1&0\\  10^4&10^3&10^2&10&1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  2&5&1&2&9  \end{bmatrix}

利用矩陣乘積的行列式性質 \det(XY)=(\det X)(\det Y),以及下三角矩陣的行列式等於主對角元的積,可知

\begin{aligned}\begin{vmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  13282&28565&57971&68382&94279  \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}  1&0&0&0&0\\  0&1&0&0&0\\  0&0&1&0&0\\  0&0&0&1&0\\  10^4&10^3&10^2&10&1  \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  2&5&1&2&9  \end{vmatrix}\\  &=\begin{vmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  2&5&1&2&9  \end{vmatrix}.\end{aligned}

 
(3) 克拉瑪公式

仍然用上例說明,寫出

\begin{bmatrix}  1&3&2&8&2\\  2&8&5&6&5\\  5&7&9&7&1\\  6&8&3&8&2\\  9&4&2&7&9  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  10^4\\  10^3\\  10^2\\  10\\  1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  13282\\  28565\\  57971\\  68382\\  94279  \end{bmatrix}

10^4, 10^3, 10^2, 10, 1 視為未知變數。根據克拉瑪公式,欲解出「未知數」1,以等號右邊向量取代係數矩陣的第5行所得的行列式除以係數矩陣的行列式 (見“克拉瑪公式的證明”),如下:

1=\frac{\begin{vmatrix}  1&3&2&8&13282\\  2&8&5&6&28565\\  5&7&9&7&57971\\  6&8&3&8&68382\\  9&4&2&7&94279  \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}  1&3&2&8&2\\  2&8&5&6&5\\  5&7&9&7&1\\  6&8&3&8&2\\  9&4&2&7&9  \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  13282&28565&57971&68382&94279  \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}  1&2&5&6&9\\  3&8&7&8&4\\  2&5&9&3&2\\  8&6&7&8&7\\  2&5&1&2&9  \end{vmatrix}},

第二個等號係因轉置運算不改變行列式的值。故分子行列式等於分母行列式,證畢。

 
以上證法的優點是簡單明瞭,缺點則是未提供直覺解釋。最後介紹一個採用幾何觀點的論證方法。為方便解說,考慮二階行列式。我們知道 \begin{vmatrix}  a&b\\  c&d  \end{vmatrix} 代表平面上 (a,b)(c,d) 所張的平行四邊形的有號面積 (見“行列式的運算公式與性質”,“行列式的幾何意義”);同樣地,\begin{vmatrix}  a&b\\  ka+c&kb+d  \end{vmatrix} 代表 (a,b)(ka+c,kb+d) 所張的平行四邊形的有號面積。見下圖,二平行四邊形擁有相同的底邊向量 (a,b),且對邊皆位於與底邊平行的直線上,可知二者同底同高,故面積絕對值相等。接著證明兩面積的正負號相同,(ka+c,kb+d)=k(a,b)+(c,d) 可視作底邊直線 \mathrm{span}\{(a,b)\} 加上平移 (c,d),稱為仿射空間 (見“仿射組合與仿射空間”)。因此 (c,d)(ka+c,kb+d) 都在底邊向量 (a,b) 的同一側,即知二平行四邊形面積有相同的正負號,也就有相等的有號面積,\begin{vmatrix}  a&b\\  c&d  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  a&b\\  ka+c&kb+d  \end{vmatrix},證明列取代運算不改變行列式的值。

列取代運算的幾何解釋

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3 Responses to 行列式的列行取代運算

  1. Watt Lin 說道:

    如果我的高中老師有這樣教,當年我會更加喜歡矩陣與行列式。
    感謝周教授精彩的說明,希望有高中老師們來這個網站,觀摩教學方法,使高中生也能享受數學的樂趣。

    • ccjou 說道:

      高中老師的教學壓力比我們大很多,好像他們都在趕進度,希望學生“趕快學好數學”。或許因為這個緣故,較少老師願意多花時間討論幾何觀念和直覺解釋吧。

  2. suehang 說道:

    这就是二阶行列式的几何意义呀,由这些几何意义可以得出全部的行列式性质,但是大陆不怎么讲,死背成了那些年我的唯一出路,看到这些东西在宝岛得到了传播,使学生获得了对行列式性质感性认识,甚喜!

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