## 行列式的列行取代運算

$A=\begin{bmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 2&5&1&2&9 \end{bmatrix}$

$\det A=\begin{vmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 13282&28565&57971&68382&94279 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}\neq\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ ka_{j1}+a_{i1}&ka_{j2}+a_{i2}&\cdots&ka_{jn}+a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ ka_{i1}+a_{j1}&ka_{i2}+a_{j2}&\cdots&ka_{in}+a_{jn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 2&5&1&2&9 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 13280+2&28560+5&57970+1&68380+2&94270+9 \end{vmatrix}$

(1) 行列式是列 (行) 的線性函數

\begin{aligned}\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ ka_{i1}+a_{j1}&ka_{i2}+a_{j2}&\cdots&ka_{in}+a_{jn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}\\ &=k\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots \end{vmatrix}. \end{aligned}

(2) det(XY)=(det X)(det Y)

$\begin{bmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 13282&28565&57971&68382&94279 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 10^4&10^3&10^2&10&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 2&5&1&2&9 \end{bmatrix}$

\begin{aligned}\begin{vmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 13282&28565&57971&68382&94279 \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 10^4&10^3&10^2&10&1 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 2&5&1&2&9 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 2&5&1&2&9 \end{vmatrix}.\end{aligned}

(3) 克拉瑪公式

$\begin{bmatrix} 1&3&2&8&2\\ 2&8&5&6&5\\ 5&7&9&7&1\\ 6&8&3&8&2\\ 9&4&2&7&9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 10^4\\ 10^3\\ 10^2\\ 10\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 13282\\ 28565\\ 57971\\ 68382\\ 94279 \end{bmatrix}$

$10^4, 10^3, 10^2, 10, 1$ 視為未知變數。根據克拉瑪公式，欲解出「未知數」$1$，以等號右邊向量取代係數矩陣的第5行所得的行列式除以係數矩陣的行列式 (見“克拉瑪公式的證明”)，如下：

$1=\frac{\begin{vmatrix} 1&3&2&8&13282\\ 2&8&5&6&28565\\ 5&7&9&7&57971\\ 6&8&3&8&68382\\ 9&4&2&7&94279 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1&3&2&8&2\\ 2&8&5&6&5\\ 5&7&9&7&1\\ 6&8&3&8&2\\ 9&4&2&7&9 \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 13282&28565&57971&68382&94279 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1&2&5&6&9\\ 3&8&7&8&4\\ 2&5&9&3&2\\ 8&6&7&8&7\\ 2&5&1&2&9 \end{vmatrix}},$

### 3 Responses to 行列式的列行取代運算

1. Watt Lin 說道：

如果我的高中老師有這樣教，當年我會更加喜歡矩陣與行列式。
感謝周教授精彩的說明，希望有高中老師們來這個網站，觀摩教學方法，使高中生也能享受數學的樂趣。

• ccjou 說道：

高中老師的教學壓力比我們大很多，好像他們都在趕進度，希望學生“趕快學好數學”。或許因為這個緣故，較少老師願意多花時間討論幾何觀念和直覺解釋吧。

2. suehang 說道：

这就是二阶行列式的几何意义呀,由这些几何意义可以得出全部的行列式性质,但是大陆不怎么讲,死背成了那些年我的唯一出路,看到这些东西在宝岛得到了传播,使学生获得了对行列式性质感性认识,甚喜!