每週問題 October 29, 2012

本週問題是計算一特殊分塊矩陣的逆矩陣:\begin{bmatrix}  A&B\\  B&A  \end{bmatrix}^{-1}

Let A and B be n\times n matrices, and X = A + B and Y = A - B. If X and Y are nonsingular, show that

\displaystyle\begin{bmatrix}  A & B\\  B & A  \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}  X^{-1}+Y^{-1}& X^{-1}-Y^{-1}\\  X^{-1}-Y^{-1}& X^{-1}+Y^{-1}  \end{bmatrix}.

 
參考解答

考慮

\begin{bmatrix}  A&B\\  B&A  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  P&Q\\  R&S  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I&0\\  0&I  \end{bmatrix}

乘開後可得

AP+BR=I,~~AQ+BS=0,~~BP+AR=0,~~BQ+AS=I

令第一式加上第三式,可得 (A + B)(P + R) = I, 故 P+R=(A+B)^{-1}=X^{-1}。令第一式減去第三式,可得 (A-B)(P-R)=I, 故 P-R=(A-B)^{-1}=Y^{-1}。由以上導出兩式可解出

\displaystyle  P=\frac{1}{2}(X^{-1}+Y^{-1}),~~R=\frac{1}{2}(X^{-1}-Y^{-1})

運用相同方法,由第二式與第四式亦可解出

\displaystyle  Q=\frac{1}{2}(X^{-1}-Y^{-1}),~~S=\frac{1}{2}(X^{-1}+Y^{-1})

故證得所求。

PowSol-Oct-29-12

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5 則回應給 每週問題 October 29, 2012

  1. Watt Lin 說道:

    以前看到每週問題,有時感覺太難,放棄作答,有時對題目沒興趣,或者很忙,沒時間嘗試解題。
    今天的題目,談到「逆矩陣」,我覺得有趣,而且恰好中午休息時段有空檔,試試把兩個矩陣相乘,得到單位矩陣,我大概是答對了吧!
    這好像是我第一次作周教授部落格裡的習題,寫完演算過程,有一種成就感。
    回想高二那年,學校還沒教矩陣,我在書局看到一本有關矩陣的書,是日本作者寫的,翻譯成中文,書中有提到「藥師」喜歡「逆矩陣」的應用,可以計算多重藥品合併使用,整體療效提升,副作用抵消。
    走進「中醫」領域,前幾年,聽聞台北有位中醫師,他原本學西醫,後來加修中醫學分,取得中醫師資格,又唸了台大電機研究所,成為醫學工程博士,他使用「逆矩陣」,算出適合病患的中藥處方。
    「逆矩陣」應用於醫學,不僅僅如此,但我懂不多。如果將來有一群人共同研究,說不定,會有新發現。

  2. Watt Lin 說道:

    有關日本藥師那段敘述,我再仔細回想,書中談「矩陣乘法」,用以計算多重藥品合併使用的整體療效與副作用消減程度。
    想要調整各種劑量,一次又一次計算「矩陣乘法」,比較各種劑量組合的療效與副作用,選出最佳藥物組合,會消耗大量時間,去尋找答案。
    「逆矩陣」可以幫助藥師,設定療效與副作用範圍,迅速求解答案,給予各項藥品適當劑量。
    —————————————————————————————————–
    (看了那本書,我對於矩陣運算很有興趣。)

    • ccjou 說道:

      很有意思的想法。統計學的因素分析 (factor analysis) 和日本藥師的「逆矩陣」方法頗有類似之處。

      • Watt Lin 說道:

        二十多年前看的那本書,數學家舉藥師工作為例,大概是「西藥」。
        可是,在台灣,我所認識的藥師,沒有人採用「矩陣」方法去配藥。
        我推測,書本僅是舉例而已,日本藥師真的廣泛應用了嗎?
        也許僅用於小規模研究,這項議題,我沒有當今的資料。
        然而,有中醫師把「逆矩陣」應用於方劑調配,現在只有少數人採用,未廣泛推行。
        這種研究很有趣,卻很少人投入時間去思考。
        我好幾次在FaceBook分享「線代啟示錄」的文章,但是在我的朋友當中,很少人按「讚」,因為我們的學識背景不是理工,課程沒有「線性代數」。
        我個人仍覺得,「線性代數」將有機會促進「中醫」現代新發展。

        • ccjou 說道:

          哈哈,謝謝你的支持。我女兒說我是稀有動物(怪咖的簡稱),因為我沒有facebook帳號。我回答:等到FB可以顯示latex時我再去申請,結果她的臉瞬間癟掉。

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