答vbigmouse chen──關於Wronskian於判斷線性獨立函數的應用

網友vbigmouse chen留言:

周老師好,我是幾年前修您計結的學生,前幾天在使用Wronskian判斷函數相關性的時候,發現了一些問題想請教 (以下問題源自“利用行列式判斷線性獨立函數”):

Q1. \vert x^3\vert 為什麼是不可微分呢? 根據微分的定義 df(x)=[f(x+h)-f(x)]/h,在 x=0 時則 \vert h^3\vert /h=h^2\vert h\vert/h=h\vert h\vert,當 h\to 0 時,左微分=右微分=0,那為什麼老師說不可微分呢?

Q2. 對於所有可微分(解析)函數來說,Wronskian=0 為什麼無法推得線性相關?舉例來說,
根據LD (linear dependence) 的定義 : 若 c_1y_1+c_2y_2=0 存在 c_1, c_2 不全為 0,使得等式成立,則稱 y_1, y_2 線性相關。對等式微分一次,若 y_1, y_2 可微分,則得到 c_1y'_1+c_2y'_2=0。 將兩條等式寫成矩陣形式 Ax=0,若 A 為奇異則存在非零 x 使 Ax=0 成立 \Rightarrow 符合LD之定義,但實際上卻不能這樣推論,這中間有那裡出現問題了呢?

Q3. 針對Q2來說,一般會舉出反例如 x^3\vert x\vert x^2,在正負無限間明顯兩者為LID (linear independence)。若說 \vert x\vert x^2 不可微分,則無法套用Wronskian,也就是是否LD和Wronskian無關(或說Wronskian無法計算)。

但如Q1所述,如果微分定義成立,則 \vert x\vert x^2 至少可以微分兩次,足以計算一個2階的Wronskian了,經過計算 Wronskian=0,則表示 Wronskian=0 的確無法推論至LD。

總結一下我的問題:
1. 諸如 \vert x\vert x^2 等函數是否可微分?
2. 如果 \vert x\vert x^2 不可微分,則此類函數不可計算Wronskian。那麼排除掉不可計算的函數後,若Wronskian=0 為何不能推論至LD?是對應的零空間不同嗎?( Ax=0 0 應該是指函數 0?)
3. 如果 \vert x\vert x^2 可微分,則確定Wronskian=0 無法推論至LD,但是既然可微分,則如Q2的例子對等式微分後得到的聯立方程組應該沒有問題,那就是對 Ax=0 的分析出錯了?

抱歉問了許多問題,但是最近被這問題困擾許久,希望老師解我心頭之疑惑,謝謝!

 
答曰:

第一個問題:\vert x^3\vert 為甚麼是不可導呢?(我在上文中宣稱 \vert x^3\vertx=0 不可導。) 令 f(x)=\vert x^3\vert=\vert x\vert\cdot x^2,分別討論三種情形。若 x>0f(x)=x^3,則 f'(x)=3x^2。若 x<0f(x)=-x^3,則 f'(x)=-3x^2。若 x=0f(x)=0;根據定義,fx=0 的導數是

\displaystyle  f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\vert h\vert\cdot h^2-0}{h}=\lim_{h\to 0}\vert h\vert\cdot h=0

所以,f(x)=\vert x^3\vert 是一可導函數。若 x\neq 0,利用導數的乘法定則,可得

\displaystyle\begin{aligned}  f'(x)&=\frac{d}{dx}\left(\vert x\vert\cdot x^2\right)=\frac{d\vert x\vert}{dx}x^2+\vert x\vert\frac{dx^2}{dx}\\  &=\frac{\vert x\vert}{x}x^2+2\vert x\vert\cdot x=\vert x\vert\cdot x+2\vert x\vert\cdot x\\  &=3\vert x\vert\cdot x;  \end{aligned}

x=0f'(0)=3\vert 0\vert\cdot 0=0,上式仍然成立。感謝網友火眼金睛挑出這個錯誤,及時阻止謬誤繼續散播。更正錯誤之後,接下來我們將討論重點放在 Wronskian 上。

 
f_1,\ldots,f_nx 的函數。若 f_1,\ldots,f_n 存在 n-1 次導函數,定義 n 階行列式 Wronskian 如下:

W(x)=\begin{vmatrix}  f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\  f'_1(x)&f'_2(x)&\cdots&f'_n(x)\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  f^{(n-1)}_1(x)&f^{(n-1)}_2(x)&\cdots&f^{(n-1)}_n(x)  \end{vmatrix}

如果 f_ix=x_0 並非 n-1 次可導,則 W(x)x=x_0 未定義。

 
定理一:若 f_1,\ldots,f_n 於區間 I 中線性相關,則對於每一 x\in IW(x)=0

證明於下。設 f_1,\ldots,f_n 在區間 I 中線性相關,可知有不全為零的數組 c_1,\ldots,c_n 使得

c_1f_1(x)+\cdots+c_nf_n(x)=0

等號右邊的 0 代表零函數,即對於任一 x\in I0(x)=0。求上式等號兩邊 n-1 次導數,可得

\begin{aligned}  c_1f'_1(x)+\cdots+c_nf'_n(x)&=0\\  \vdots&\\  c_1f^{(n-1)}_1(x)+\cdots+c_nf^{(n-1)}_n(x)&=0,  \end{aligned}

因此 c_1,\ldots,c_n 即為下列齊次方程的解:

A(x)\mathbf{c}=\begin{bmatrix}  f_1(x)&\cdots&f_n(x)\\  f'_1(x)&\cdots&f'_n(x)\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  f^{(n-1)}_1(x)&\cdots&f^{(n-1)}_n(x)  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_1\\  \vdots\\  c_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0\\  0\\  \vdots\\  0  \end{bmatrix}

其中 n\times n 階矩陣 A(x) 的元 a_{ij}(x)x 的函數。因為 c_1,\ldots,c_n 不全為零,即知對於每一 x\in IA(x) 不可逆,故 W(x)=\det A(x)=0,證畢。

 
定理二是定理一的等價表達,也是 Wronskian 應用於判斷線性獨立函數的依據。

定理二:若存在一 x\in I 使得 W(x)\neq 0,則 f_1,\ldots,f_n 於區間 I 中線性獨立 (無關)。

這裡要提醒讀者特別注意:矩陣 A(x) 和 Wronkian W(x) 都是 x 的函數。上述定理的效用僅及於特定區間 x\in I,在此區間中,W(x)=0 同義於 A(x) 不可逆,W(x)\neq 0 則同義於 A(x) 可逆。

 
接著一併回覆第二和第三個問題:為甚麼 W(x)=0 無法推得 f_1,\ldots,f_n 是線性相關?也就是說,為甚麼定理一的反向陳述不成立?為方便說明,設 f, g 是可導函數,令

W(x)=\begin{vmatrix}  f(x)&g(x)\\  f'(x)&g'(x)  \end{vmatrix}=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)

考慮兩種情況。若 x\in I 滿足 f(x)\neq 0g(x)\neq 0,則 f(x)=cg(x) 致使 W(x)=0,其中 c 為一非零數。如果 c 固定不變,則 fg 線性相關。相反的,如果在區間 Ic 不為一常數,fg 即是線性獨立函數。

例一:令 f(x)=x^3g(x)=\vert x\vert\cdot x^2,則對於任一 x\in\mathbb{R}

W(x)=\begin{vmatrix}  x^3&\vert x\vert\cdot x^2\\  3x^2&3\vert x\vert\cdot x  \end{vmatrix}=0

x\ge 0,則 x^3\vert x\vert\cdot x^2=x^3 在此區間中線性相關;若 x<0,則 x^3\vert x\vert\cdot x^2=-x^3 亦在此區間中線性相關。然而,若考慮 x\in\mathbb{R},則 x^3\vert x\vert\cdot x^2 是線性獨立函數。

 
再看另一種情形。若 x\in I 使得 g(x)=0g'(x)=0,則任何 f 函數均滿足 W(x)=0,這意味我們總是可以找到線性獨立的 fg 使得 W(x) 到處等於零。

例二:令 f(x)=(x-1)^2(x+1)^2

g(x)=\left\{\begin{matrix}  0,&\mathrm{if~}\vert x\vert\le 1\\  (x-1)^2(x+1)^2,&\mathrm{if~}\vert x\vert>1  \end{matrix}\right.

f'(x)=4x(x-1)(x+1)

g'(x)=\left\{\begin{matrix}  0,&\mathrm{if~}\vert x\vert\le 1\\  4x(x-1)(x+1),&\mathrm{if~}\vert x\vert>1  \end{matrix}\right.

\vert x\vert>1,則 f(x)=g(x),故 W(x)=0fg 線性相關。若 \vert x\vert\le 1,則 g(x)=g'(x)=0,故 W(x)=0fg 線性相關。但在區間 \mathbb{R}fg 是線性獨立函數。

 
最後我將 Wronskian 的主要性質整理於下:

  1. 函數 f_1,\ldots,f_n 必須同在 x 可導 n-1 次方能定義 n\times n 階矩陣 A(x) 和 Wronskian W(x)=\det A(x)W(x)=0 同義於 A(x) 是不可逆矩陣。
  2. 若存在一 x\in I 使得 W(x)\neq 0,則 f_1,\ldots,f_n 於區間 I 中線性獨立。或者說,若 f_1,\ldots,f_n 於區間 I 中線性相關,則對於每一 x\in IW(x)=0
  3. 對於每一 x\in I 皆有 W(x)=0 並不能保證 f_1,\ldots,f_n 於區間 I 中線性相關。原因在於不同區間 I'\subseteq I 致使 W(x)=0f_1,\ldots,f_n 可能具有不同的關係,當區間擴大至 I,我們無從確定 f_1,\ldots,f_n 是線性相關或線性獨立。

 
附註:根據網友陳秈鵿的建議,我按下面對照表修改了回覆中的若干用詞:
derivative 導數
differentiable 可導
differentiate 求導
differentiation 求導法
differential 微分

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11 則回應給 答vbigmouse chen──關於Wronskian於判斷線性獨立函數的應用

  1. 陳秈鵿 說道:

    周老師:
    文章中出現的df(x) = [f(x+h)-f(x)]/h裡面的df這記號是不對的,因為根據分析學的定義,原是右邊的牛頓商的極限在中文應稱為"導數"(derivative)、"微商"(differential quotient)或"微分係數"(differential coefficient),而所謂"微分",若是當動詞(differentiate)用,則是指"對函數求導"這個動作;若是當名詞(differential)用,則是指函數改變量的線性主部。根據這樣的定義,df=f'dx

    文章中的記號應該還是改為\displaystyle\frac{d}{dx}為好。

    台灣、香港對於這些數學名詞的用法有很多混淆的地方,其他國家則沒這問題。如果有人覺得這怪怪的,請參考由H.A.Scharz所記錄的Weierstrass當年上數學分析課的筆記(現存Institut Mittag-Leffler),中譯文可於李文林主編的數學珍寶尋見。

    就算不去參考Weuerstrass的講課筆記,回過頭看當年李善蘭對differential的翻譯,李善蘭說:"一剎那中所增之積即微分也",也是指增量,而非變化率!

    • ccjou 說道:

      謝謝你的寶貴意見。微分這個詞是我的大學老師所引介的,那時候不論是derivative還是differentiate都叫微分。許多年以後,我才知道導數、求導和可導這些較為精準的名稱。數學分析一直是我的罩門。當我第一次見到 \displaystyle \frac{df}{dx},心中就不自覺地有消去 d 的衝動。李善蘭既便生在二百年前也絕不會有這樣的困擾。(我將你迴響的LaTex編輯過以正確顯示,在第一個$後面加入latex和一空格)

  2. Watt Lin 說道:

    \vert x^{n} \vert 可不可以微分,這好像不是「線性代數」的主題,可是,線性代數的論述,有時會遇到微積分。
    老師解釋矩陣與向量,常用幾何意義來談,幫助讀者用眼睛「直觀」方式看懂。
    \vert x^{n} \vert 也可畫出圖形,以及它的切線,在 x=0 處,若n>=2,切線恰好是 X軸。
    n=1時,左切線與右切線,是不同的兩條, x=0 處,畫不出切線。
    我自己,原先也認為 \vert x^{3} \vert 在 x=0 處不可微分,看到讀者回應以及老師修改文章,我才知它可以微分。
    後來,繼續思考,n是正偶數,切線很容易畫。當 n=3 或是更大的正奇數,切線也可以畫,有圖,真的可以幫助理解。
    如果老師您有空,可以在這篇文章附個\vert x^{n} \vert 切線圖,嘉惠讀者。

    • ccjou 說道:

      我手邊沒有繪圖工具。請讀者自行google「abs x^3」,從圖形可確認 \vert x^3\vert 確實是可導函數。將數字3改為其他奇數,也會產生對應圖形。另外google「abs x^(1/3)」會發現 \vert x^{1/3}\vertx=0 不可導。

  3. Watt Lin 說道:

    用 Google ,是好方法。
    Wolfram Alpha 的圖文描述,更加詳細:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs+x3

    • Watt Lin 說道:

      上列網址超連結,被 WordPress 省略 ^3,變成 abs x。
      所以要在 Wolfram Alpha 輸入 abs x^3。
      若輸入 abs x^n 會出現一些有趣的圖,但有的圖我看不懂,好像牽涉「複變」。
      在 Google 輸入 abs x^n,卻不容易直接看到想要的資料。

    • Watt Lin 說道:

      在 Wolfram Alpha 輸入 abs x^n
      然後,Plots框裡,畫出 n 從 0 到 3 的圖,
      「more按鈕」 按兩次,可以看見 n 從 0 到 9 的圖。
      很明顯可見, n=1 時,在 x=0 處不可微。
      其他n值,在 x=0 處,接近平坦。

  4. vbigmouse chen 說道:

    周老師您好:
    感謝您撥冗回答我的問題!看完文章之後,我整理出之前困擾我的地方:
    由A不可逆(W(x)=0)無法推至LD,是因為證明定理 [ LD => W(x)=0 ] 時有限制條件:限定在區間內相關。
    那我們在矩陣運算時 定理[ A不可逆(W(x)=0) LD ] 成立是因為我們在對歐氏向量做運算,而歐氏向量的相關性和區間無關,是以在矩陣運算時 [ A不可逆(det(A)=0) LD ] ,但在這些函數的相關性卻是和區間有關的,所以只能證明出 [ LD in I => W(x) = 0 on I ]。
    所以重點就在於"不能將歐氏向量空間成立的定理任意衍伸到其他非歐式向量空間",是這樣嗎?(這些函數應該不屬於向量空間吧?)
    謝謝周老師!

    • ccjou 說道:

      W(x)=\begin{vmatrix} f(x)&g(x)\\ f'(x)&g'(x) \end{vmatrix}=f(x)g'(x)-g(x)f'(x) 為例,W(x)=0 不能推論 fg 線性相關的原因並不在於"不能將歐氏向量空間成立的定理任意衍伸到其他非歐式向量空間"。只要 fg 的長度有限,它們皆為“向量”,見
      https://ccjou.wordpress.com/2009/08/18/%E5%BE%9E%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93%E5%88%B0%E5%87%BD%E6%95%B8%E7%A9%BA%E9%96%93/
      檢查函數向量 fg 是否線性相關的方法與歐式向量相同,即有不全為零的 c,d 使得 cf(x)+dg(x)=0 (式一)。因為 (式一) 衍生出 cf'(x)+dg'(x)=0,所以 W(x)=0fg 線性相關的必要條件而非充分條件,這才是 W(x)=0 不可推論 fg 是線性相關的真正原因。或者這麼看,我們能從 f(x)g'(x)=g(x)f'(x) 推論 fg 線性相關嗎?如果將導數替換為任一線性變換 T,那麼 W(x)=f(x)T(g(x))-g(x)T(f(x))=0 可以推論 fg 線性相關嗎?看一個極端情況,若 T 的值域為 \{0\},亦即 T 將任何函數映至 0(x),則對於任意 x,總有 W(x)=f(x)0(x)-g(x)0(x)=0

      • vbigmouse chen 說道:

        周老師好:
        我回去想了想,大致上都了解了,只剩下一個類似邏輯推論的地方,就是老師所說,若滿足(式一)則符合線性相關的定義,另外再由(式一)衍伸出(式二)。 若W(x)=0,則不是會使方程組有非零解,也就是有c和d同時滿足了(式一)和(式二)嗎? 那麼只要滿足了(式一),不就符合了線性相關的定義嗎? 還是說單由 W(x)=0 不能推論到有非零之c和d滿足(式一)? 若不行的話是否代表 det(A)=0 會使 Ax=0 存在非零解 x 不適用? 簡而言之,我想問的是若W(x)=0 可以推到一組係數滿足方程組,那麼既然能同時滿足(式一)(式二),一定單獨能滿足(式一),也就是線性相關,請問我的想法上哪裡出現錯誤了?再次謝謝老師不厭其煩的回答!

        • ccjou 說道:

          我猜想你的問題根源在於對線性相關函數的理解失準:f(x)g(x) 是線性相關函數,若且惟若有不全為零的常數 c, d 使得對於所有 xcf(x)+dg(x)=0。關鍵在於 c,d 必須是「常數」,不可隨著 x 改變。回到本文例一,若 x\ge 0,則 A(x)=\begin{bmatrix} x^3&x^3\\ 3x^2&3x^2 \end{bmatrix}A(x) 的零空間為 (c,d)=\alpha(1,-1)。若 x<0,則 A(x)=\begin{bmatrix} x^3&-x^3\\ 3x^2&-3x^2 \end{bmatrix}A(x) 的零空間為 (c,d)=\alpha(1,1)。兩零空間交集為 (c,d)=(0,0),意思是說我們無法找到不全為零的 c,d 對所有 x 都滿足 cf(x)+dg(x)=0。這點出 W(x)=0 到處成立仍不能保證存在不全為零的常數 c,d

          我的老師曾說:沒有笨問題,只有笨答案。倘若我的回答仍未解開疑惑,不用客氣,歡迎再提出來討論。(突然想起微積分裡面的 Jacobian 矩陣和行列式,下次就來討論這個主題。)

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