利用 Gramian 矩陣證明行秩等於列秩

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線性代數的基本定理建立在一個重要磐石之上，即矩陣的行秩 (column rank) 等於列秩 (row rank)，意思是矩陣的行空間維數等於列空間維數。據此，一 階矩陣 的行秩和列秩通稱為秩，記作 。過去我們曾經在“行秩=列秩”利用矩陣乘法運算證明矩陣 的列空間維數不大於行空間維數，；將不等式的 替換為 ，因為 ，可知 ，因此得證。另外，透過秩分解 (rank decomposition) ，其中 階矩陣 的行向量是 的行空間基底， 階矩陣 的列向量是 的列空間基底，我們也得以目視矩陣的行秩等於列秩 (見“秩分解──目視行秩等於列秩”)。本文再介紹一個優雅的證明，整個論證核心在於

，

其中 是 的共軛轉置， 為 階 Hermitian 矩陣，稱為 Gramian 矩陣 (見“特殊矩陣 (14)：Gramian 矩陣”)。

 
對於一線性變換 ，我們定義 的秩為 ，其中 代表 的值域 (range)。令 為一 階複矩陣。因為 是一個從 映至 的線性變換，故 的值域就是行空間， 則是 的行秩，。欲證明矩陣的行秩等於列秩，考慮下列由 衍生出的矩陣，它們有相同的秩：

。

我們分成五個部分來討論，主要的證明工具包含零空間、行空間、線性獨立，以及秩─零度定理 (rank-nullity theorem)。

 
(1)

首先引介一個重要的事實： 的零空間等於 的零空間。注意 等價於 和 。若 ，則 。下面提供兩個 的證明。證法一：若 ，等號兩邊同時左乘 ，可得 ，故 。證法二：若 ，則 。另外， 必屬於 。因為 ，推論 。根據 和 的秩—零度定理表達式 和 ，即證明 。

 
(2)

式 (2) 是 式 (1) 的必然結果。將式 (1) 的 替換為 ，因為 ，即得 。

 
(3)

因為 的行向量必可表示為 的行向量的線性組合，可知 ，即有 。再利用式 (1)，可得 。將此不等式的 替換為 ，則得 ，證畢。合併式 (1) 和式 (3)，就有 ，由此並可推論 。欲進一步理解 和 的直覺意義，請參閱“圖說矩陣基本子空間與線性方程解的結構”。

 
根據式 (3)，若 是實矩陣，立得 。因為 是 的行秩， 即是 的行秩，也就是 的列秩，故證明實矩陣的行秩等於列秩。若 是複矩陣， 的行空間不同於 的行空間，換言之， 不等同於 。既然式 (3) 仍不足以證明複矩陣的行秩等於列秩，我們必須尋求他法來證明複矩陣 同樣滿足 。

 
(4)

令 ，，設

。

上式等號兩邊同取共軛，

，

可知 仍是 的線性組合，惟組合權重變成共軛複數 。設 。若 為一線性獨立集，則 ，即 ，故 亦為線性獨立集。反之，若 為一線性相關集，則 不全是零，即 不全是零，故 也是線性相關集。這說明 的行向量 和 的行向量 有完全相同的線性獨立或線性相關性，因此推論 。

 
(5)

將式 (4) 的 以 取代，即有 ，再使用式 (3)，可得 。

 
不論 是實矩陣或複矩陣，式 (5) 表明 的行秩 等於列秩 。最後補充說明一個經常被學者忽略的細節。若 是實矩陣，式 (1) 變成 。若 是複矩陣，則 未必成立，例如，，則 ，但 。

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