利用 Gramian 矩陣證明行秩等於列秩

本文的閱讀等級:中級

線性代數的基本定理建立在一個重要磐石之上,即矩陣的行秩 (column rank) 等於列秩 (row rank),意思是矩陣的行空間維數等於列空間維數。據此,一 m\times n 階矩陣 A 的行秩和列秩通稱為秩,記作 \mathrm{rank}A。過去我們曾經在“行秩=列秩”利用矩陣乘法運算證明矩陣 A 的列空間維數不大於行空間維數,\dim C(A^T)\le\dim C(A);將不等式的 A 替換為 A^T,因為 (A^T)^T=A,可知 \dim C(A)=\dim C((A^T)^T)\le\dim C(A^T),因此得證。另外,透過秩分解 (rank decomposition) A=XY,其中 m\times r 階矩陣 X 的行向量是 A 的行空間基底,r\times n 階矩陣 Y 的列向量是 A 的列空間基底,我們也得以目視矩陣的行秩等於列秩 (見“秩分解──目視行秩等於列秩”)。本文再介紹一個優雅的證明,整個論證核心在於

\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^{\ast}A)

其中 A^{\ast}=\overline{A}^TA 的共軛轉置,A^{\ast}An\times n 階 Hermitian 矩陣,稱為 Gramian 矩陣 (見“特殊矩陣 (14):Gramian 矩陣”)。

 
對於一線性變換 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W},我們定義 T 的秩為 \mathrm{rank}T=\dim R(T),其中 R 代表 T 的值域 (range)。令 A 為一 m\times n 階複矩陣。因為 A 是一個從 \mathbb{C}^n 映至 \mathbb{C}^m 的線性變換,故 A 的值域就是行空間,\mathrm{rank}A 則是 A 的行秩,\mathrm{rank}A=\dim C(A)。欲證明矩陣的行秩等於列秩,考慮下列由 A 衍生出的矩陣,它們有相同的秩:

\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^{\ast}A)=\mathrm{rank}A^{\ast}=\mathrm{rank}(AA^{\ast})=\mathrm{rank}\overline{A}=\mathrm{rank}A^T

我們分成五個部分來討論,主要的證明工具包含零空間、行空間、線性獨立,以及秩─零度定理 (rank-nullity theorem)。

 
(1) \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^{\ast}A)

首先引介一個重要的事實:A 的零空間等於 A^{\ast}A 的零空間。注意 N(A)=N(A^{\ast}A) 等價於 N(A)\subseteq N(A^{\ast}A)N(A^{\ast}A)\subseteq N(A)。若 A\mathbf{x}=\mathbf{0},則 A^{\ast}A\mathbf{x}=A^{\ast}\mathbf{0}=\mathbf{0}。下面提供兩個 N(A^{\ast}A)\subseteq N(A) 的證明。證法一:若 A^{\ast}A\mathbf{x}=\mathbf{0},等號兩邊同時左乘 \mathbf{x}^{\ast},可得 \mathbf{x}^{\ast}A^{\ast}A\mathbf{x}=\left(A\mathbf{x}\right)^{\ast}\left(A\mathbf{x}\right)=\Vert A\mathbf{x}\Vert^2=0,故 A\mathbf{x}=\mathbf{0}。證法二:若 A^{\ast}A\mathbf{x}=\mathbf{0},則 A\mathbf{x}\in N(A^\ast)。另外,A\mathbf{x} 必屬於 C(A)。因為 C(A)\cap N(A^\ast)=\{\mathbf{0}\},推論 A\mathbf{x}=\mathbf{0}。根據 AA^{\ast}A 的秩—零度定理表達式 \dim C(A)+\dim N(A)=n\dim C(A^{\ast}A)+\dim N(A^{\ast}A)=n,即證明 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^{\ast}A)

 
(2) \mathrm{rank}A^{\ast}=\mathrm{rank}(AA^{\ast})

式 (2) 是 式 (1) 的必然結果。將式 (1) 的 A 替換為 A^{\ast},因為 (A^{\ast})^{\ast}=A,即得 \mathrm{rank}A^{\ast}=\mathrm{rank}((A^{\ast})^{\ast}A^{\ast})=\mathrm{rank}(AA^{\ast})

 
(3) \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^{\ast}

因為 A^{\ast}A 的行向量必可表示為 A^{\ast} 的行向量的線性組合,可知 C(A^{\ast}A)\subseteq C(A^{\ast}),即有 \mathrm{rank}(A^{\ast}A)\le\mathrm{rank}A^{\ast}。再利用式 (1),可得 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^{\ast}A)\le\mathrm{rank}A^{\ast}。將此不等式的 A 替換為 A^{\ast},則得 \mathrm{rank}A^{\ast}\le\mathrm{rank}(A^{\ast})^{\ast}=\mathrm{rank}A,證畢。合併式 (1) 和式 (3),就有 \mathrm{rank}(A^{\ast}A)=\mathrm{rank}A^{\ast},由此並可推論 C(A^{\ast}A)=C(A^{\ast})。欲進一步理解 C(A^{\ast}A)C(A^{\ast}) 的直覺意義,請參閱“圖說矩陣基本子空間與線性方程解的結構”。

 
根據式 (3),若 A 是實矩陣,立得 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^T。因為 \mathrm{rank}AA 的行秩,\mathrm{rank}A^T 即是 A^T 的行秩,也就是 A 的列秩,故證明實矩陣的行秩等於列秩。若 A 是複矩陣,A^{\ast} 的行空間不同於 A^T 的行空間,換言之,\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^{\ast} 不等同於 \dim C(A)=\dim C(A^T)。既然式 (3) 仍不足以證明複矩陣的行秩等於列秩,我們必須尋求他法來證明複矩陣 A 同樣滿足 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^T

 
(4) \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\overline{A}

\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\in\mathbb{C}^mc_1,\ldots,c_k\in\mathbb{C},設

\mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k

上式等號兩邊同取共軛,

\overline{\mathbf{x}}=\overline{c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k}=\overline{c_1}~\overline{\mathbf{v}_1}+\cdots+\overline{c_k}~\overline{\mathbf{v}_k}

可知 \overline{\mathbf{x}} 仍是 \overline{\mathbf{v}_1},\ldots,\overline{\mathbf{v}_k} 的線性組合,惟組合權重變成共軛複數 \overline{c_1},\ldots,\overline{c_k}。設 \mathbf{x}=\mathbf{0}。若 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 為一線性獨立集,則 c_1=\cdots=c_k=0,即 \overline{c_1}=\cdots=\overline{c_k}=0,故 \{\overline{\mathbf{v}_1},\ldots,\overline{\mathbf{v}_k}\} 亦為線性獨立集。反之,若 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 為一線性相關集,則 c_1,\ldots,c_k 不全是零,即 \overline{c_1},\ldots,\overline{c_k} 不全是零,故 \{\overline{\mathbf{v}_1},\ldots,\overline{\mathbf{v}_k}\} 也是線性相關集。這說明 A 的行向量 \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\overline{A} 的行向量 \overline{\mathbf{a}_1},\ldots,\overline{\mathbf{a}_n} 有完全相同的線性獨立或線性相關性,因此推論 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\overline{A}

 
(5) \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^T

將式 (4) 的 AA^T 取代,即有 \mathrm{rank}A^T=\mathrm{rank}\overline{A}^T,再使用式 (3),可得 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^{\ast}=\mathrm{rank}\overline{A}^T=\mathrm{rank}A^T

 
不論 A 是實矩陣或複矩陣,式 (5) 表明 A 的行秩 \mathrm{rank}A 等於列秩 \mathrm{rank}A^T。最後補充說明一個經常被學者忽略的細節。若 A 是實矩陣,式 (1) 變成 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^TA)。若 A 是複矩陣,則 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^TA) 未必成立,例如,A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-i\\ i&1 \end{array}\!\!\right],則 \mathrm{rank}A=1,但 \mathrm{rank}(A^TA)=0

廣告
本篇發表於 線性代數專欄, 向量空間 並標籤為 , , , , , , 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s