可逆矩陣定理之實戰演練

本文的閱讀等級:初級

A 為一 n\times n 階矩陣,若存在一 n\times n 階矩陣 B 使得 AB=IBA=I,我們稱 A 是可逆矩陣,B 則稱為 A 的逆矩陣,記為 A^{-1}。可逆矩陣定理貫穿線性代數的許多重要主題,提供了多面向的可逆矩陣判別方式 (見“可逆矩陣定理”)。本文透過證明一個簡單的命題來演練可逆矩陣定理中一些概念與方法,包含定義、行列式、列等價、零空間、特徵值和矩陣秩。我們要證明的命題是:若 A^2=0,則 A 是不可逆矩陣。(相關討論請見“特殊矩陣 (1):冪零矩陣”。)

 
定義

假設 A 是可逆矩陣,則存在 B 使得 AB=I。等號兩邊左乘 A,可得 A^2B=A。但 A^2=0,即知 A=0,然而 0 不可逆,與假設相矛盾,因此得證。

 
行列式

因為 \det(A^2)=(\det A)(\det A),但 \det(A^2)=\det 0=0,故知 \det A=0

 
列等價

我們證明等價命題:若 A 是可逆矩陣,則 A^2\neq 0。可逆矩陣 A 列等價於單位矩陣 I,亦即存在基本矩陣 E_1,\ldots,E_k 使得 E_k\cdots E_1A=I,就有

A^2=(E_k\cdots E_1I)(E_k\cdots E_1I)=E_k\cdots E_1E_k\cdots E_1I

上式說明 A^2 列等價於 I,可知 A^2 是可逆矩陣,故不等於零矩陣。

 
零空間

A^2=0,則對於任一 n 維向量 \mathbf{x}A^2\mathbf{x}=\mathbf{0},亦即 A(A\mathbf{x})=\mathbf{0}。分開兩個情況討論。若對於每一 \mathbf{x}A\mathbf{x}=\mathbf{0},則 A=0,顯然 A 不可逆。若存在 \mathbf{x} 使得 \mathbf{y}=A\mathbf{x}\neq\mathbf{0},則 A\mathbf{y}=A(A\mathbf{x})=A^2\mathbf{x}=\mathbf{0}A 的零空間包含非零向量,故 A 不可逆。

 
特徵值

\lambda 代表 A 的特徵值,\lambda^2 則是 A^2 的特徵值。從 A^2=0 可知 \lambda^2=0,故 \lambda=0,即存在 (非零) 特徵向量 \mathbf{x} 使得 A\mathbf{x}=\mathbf{0}

 
矩陣秩

A, Bn\times n 階矩陣,則

\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B-n\le\mathrm{rank}(AB)\le\min\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}

(證明請見“破解矩陣秩的等式與不等式證明”。) 因為 A^2=0,即有 \mathrm{rank}A^2=0。設 B=A,上式給出 2\,\mathrm{rank}A-n\le 0\le \mathrm{rank}A,即 0\le \mathrm{rank}A\le n/2,也就是說,\mathrm{rank}A<n,同時表明 A 的線性獨立行 (列) 向量總數不多於 n/2

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