每週問題 November 5, 2012

本週問題是證明若 n\times n 階矩陣 A 滿足 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^2,則 AA^2 有相同的零空間。

Let A be an n\times n matrix. If \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^2, show that N(A)=N(A^2), i.e., A\mathbf{x}=\mathbf{0} and A^2\mathbf{x}=\mathbf{0} have the same solution space.

 
參考解答:

\mathbf{x}\in N(A),即 A\mathbf{x}=\mathbf{0},則 A^2\mathbf{x}=A(A\mathbf{x})=\mathbf{0},這說明 N(A)\subseteq N(A^2)。利用已知條件 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^2,以及秩—零度定理 \mathrm{rank}A+\dim N(A)=n\mathrm{rank}A^2+\dim N(A^2)=n,可得 \dim N(A)=\dim N(A^2),也就證明 N(A)=N(A^2)

PowSol-Nov-5-12

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