## 每週問題 November 5, 2012

Let $A$ be an $n\times n$ matrix. If $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^2$, show that $N(A)=N(A^2)$, i.e., $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ and $A^2\mathbf{x}=\mathbf{0}$ have the same solution space.

$\mathbf{x}\in N(A)$，即 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$，則 $A^2\mathbf{x}=A(A\mathbf{x})=\mathbf{0}$，這說明 $N(A)\subseteq N(A^2)$。利用已知條件 $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}A^2$，以及秩—零度定理 $\mathrm{rank}A+\dim N(A)=n$$\mathrm{rank}A^2+\dim N(A^2)=n$，可得 $\dim N(A)=\dim N(A^2)$，也就證明 $N(A)=N(A^2)$

PowSol-Nov-5-12