每週問題 November 12, 2012

這是關於線性獨立向量集的練習問題。

Suppose \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 are linearly dependent and \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 are linearly independent.
(a) Show that \mathbf{v}_1 is a linear combination of \mathbf{v}_2 and \mathbf{v}_3.
(b) Show that \mathbf{v}_4 is not a linear combination of \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, and \mathbf{v}_3.

 
參考解答:

(a) 因為 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 是線性相關集,即知存在不全為零的 c_1, c_2, c_3 使得 c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}。若 c_1=0,則 c_2c_3 不為零,也就是說 \mathbf{v}_2\mathbf{v}_3 線性相關。但這與 \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 是線性獨立集矛盾,故推論 c_1\neq 0。向量 \mathbf{v}_1 可表示為 \mathbf{v}_2\mathbf{v}_3 的線性組合,如下:

\mathbf{v}_1=-\displaystyle\frac{1}{c_1}(c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3)

(b) 假設 \mathbf{v}_4 可表示為 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\mathbf{v}_3 的線性組合, 令 \mathbf{v}_4=d_1\mathbf{v}_1+d_2\mathbf{v}_2+d_3\mathbf{v}_3。代入 (a) 的 \mathbf{v}_1 表達式,則 \mathbf{v}_4 可表示為 \mathbf{v}_2\mathbf{v}_3 的線性組合。但這與 \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 是線性獨立集矛盾,因此得證。

PowSol-Nov-12-12

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4 則回應給 每週問題 November 12, 2012

  1. 永歲飄零 說:

    不好意思 我想請問一個問題 由於我在這沒有找到類似 也是獨立的問題
    S={(2.-3.5) . (0.2.-1) . (1.0.-2) . (7.2.0)} 這是相依或者獨立 我有看過一種算法是
    左到右( 其實我也不知道順序是否需要判斷) 一列一列這樣往下列出 從第一列開始往下做
    乘N倍的加法 至另一列 但這種方法我似乎做不出答案 是我有做錯 還是必須要用別的方法呢

  2. 永歲飄零 說:

    我補充一下 那個這樣是要看能否有一個VECTOR可以被組裝出來 應該如此 但有時候不顯而易見的話該怎辦呢

  3. 永歲飄零 說:

    感謝你

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