每週問題 November 19, 2012

本週問題是給定線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的通解,求 A

If \mathbf{b}=(1,3,0,2)^T and the general solution to A\mathbf{x}=\mathbf{b} is

\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  1\\  -1  \end{array}\!\!\right]+\alpha\begin{bmatrix}  1\\  2\\  0  \end{bmatrix}+\beta\left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  2\\  -1  \end{array}\!\!\right],

where \alpha and \beta are free parameters, determine the matrix A.

 
參考解答:

因為 \mathbf{b} 是4維向量,\mathbf{x} 是3維向量,即知 A4\times 3 階矩陣。由給出的通解可得

A\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  1\\  -1  \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix}  1\\  3\\  0\\  2  \end{bmatrix},~~  A\begin{bmatrix}  1\\  2\\  0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0\\  0\\  0\\  0  \end{bmatrix},~~  A\left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  2\\  -1  \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix}  0\\  0\\  0\\  0  \end{bmatrix}

將上面三式合併成一矩陣方程:

A\left[\!\!\begin{array}{rrr}  1&1&2\\  1&2&2\\  -1&0&-1  \end{array}\!\!\right]  =\begin{bmatrix}  1&0&0\\  3&0&0\\  0&0&0\\  2&0&0  \end{bmatrix}

由此解出

\begin{aligned}  A&=\begin{bmatrix}  1&0&0\\  3&0&0\\  0&0&0\\  2&0&0  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{rrr}  1&1&2\\  1&2&2\\  -1&0&-1  \end{array}\!\!\right]^{-1}=\begin{bmatrix}  1&0&0\\  3&0&0\\  0&0&0\\  2&0&0  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{rrr}  -2&1&-2\\  -1&1&0\\  2&-1&1  \end{array}\!\!\right]\\  &=\left[\!\!\begin{array}{rrr}  -2&1&-2\\  -6&3&-6\\  0&0&0\\  -4&2&-4  \end{array}\!\!\right].\end{aligned}

PowSol-Nov-19-12

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