每週問題 November 26, 2012

已知 \mathrm{adj}A,問 A 為何?

If

\mathrm{adj}A=\left[\!\!\begin{array}{rrc}  2&1&0\\  4&3&2\\  -2&-1&2  \end{array}\!\!\right],

find A.

 
參考解答:

考慮伴隨矩陣主要關係式

A(\mathrm{adj}A)=(\det A)I

因為 \det(\mathrm{adj}A)=4\mathrm{adj}A 可逆,所以 A=(\det A)(\mathrm{adj}A)^{-1}。下面分別求出 \det A(\mathrm{adj}A)^{-1}。計算上述關係式等號兩邊的行列式,因為 A 是一 3\times 3 階矩陣,可得 (\det A)\det(\mathrm{adj}A)=(\det A)^3,解出 \det A=\pm 2\det A=0 (此解與 A 可逆相矛盾)。最後求得

(\mathrm{adj}A)^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrr}  2&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\  -3&1&-1\\  \frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}  \end{array}\!\!\right]

得到兩個答案:

A=\left[\!\!\begin{array}{rrr}  4&-1&1\\  -6&2&-2\\  1&0&1  \end{array}\!\!\right]

A=\left[\!\!\begin{array}{rrr}  -4&1&-1\\  6&-2&2\\  -1&0&-1  \end{array}\!\!\right]

PowSol-Nov-26-12

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