答陳威丞──關於半正定矩陣的一個證明問題

網友陳威丞留言:

老師我是某校經濟系的學生,有一題題目在我的能力範圍外,可以請老師有空幫我解題亦或是跟我說一下需要用的什麼定理好讓我有個方向嗎?

AB 之逆矩陣存在,若 A-B 為半正定且 A^T=AB^T=B,則試證 B^{-1}-A^{-1} 亦為半正定矩陣 (見“特殊矩陣 (6):正定矩陣”)。


答曰:

以下假設 A, Bn\times n 階實矩陣,如欲推廣至複矩陣,轉置 (~)^T 改成共軛轉置 (~)^{\ast} 即可。將命題的 A,B 矩陣替換為實數:若 a\neq 0b\neq 0a-b\ge 0,則 b^{-1}-a^{-1}\ge 0。這個陳述是錯的,譬如,a=2, b=-1,正確的敘述應為:若 a\ge b>0,則 b^{-1}\ge a^{-1}。仿造實數可比較大小,我們定義實對稱矩陣的大小關係如下:若 A-B 是正定,則 AB 的關係可記為 A\succ B,類似地,A\succcurlyeq B 代表 A-B 是半正定。若 A 是半正定,即 A-0 是半正定,半正定矩陣 A 也可表示為 A\succcurlyeq 0,所以 A\succcurlyeq BA-B\succcurlyeq 0 同義。原來的命題應修正為:若 A,B 是實對稱矩陣,且 A\succcurlyeq B\succ 0,證明 B^{-1}\succcurlyeq A^{-1}。下面提供兩個運用相合 (congruence) 變換的證法。

 
證明一

因為 A 也是實對稱正定矩陣,故存在唯一實對稱正定矩陣 A^{\frac{1}{2}} 使得 (A^{\frac{1}{2}})^2=A (見“半正定矩陣的偏序關係”,定理四),則

A-B=A^{\frac{1}{2}}(I-A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}})A^{\frac{1}{2}}=A^{\frac{1}{2}}(I-C)A^{\frac{1}{2}}

其中 C=A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}}。因為 A^{\frac{1}{2}} 可逆且 (A^{-\frac{1}{2}})^T=A^{-\frac{1}{2}},即知 C 相合於 B。Sylvester 慣性定律說:兩相合矩陣有相同的慣性 (inertia),即相同的正特徵值數,負特徵值數,以及零特徵值數 (見“相合變換”),故可推論 C 也是實對稱正定矩陣。因為實對稱正定矩陣可正交對角化且特徵值皆為正數 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”),C 可表示為 C=QDQ^T,其中 Q^T=Q^{-1} 是正交矩陣,D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\lambda_i>0i=1,\ldots,n。將 C 的正交對角化表達式代入上式,

A-B=A^{\frac{1}{2}}(I-QDQ^T)A^{\frac{1}{2}}=A^{\frac{1}{2}}Q(I-D)Q^T(A^{\frac{1}{2}})^T=A^{\frac{1}{2}}Q(I-D)(A^{\frac{1}{2}}Q)^T

因為 A^{\frac{1}{2}}Q 是可逆矩陣,A-B 相合於 I-D。運用同樣方式,計算 B^{-1}-A^{-1},過程如下:

\begin{aligned}  B^{-1}-A^{-1}&=A^{-\frac{1}{2}}(A^{\frac{1}{2}}B^{-1}A^{\frac{1}{2}}-I)A^{-\frac{1}{2}}\\  &=A^{-\frac{1}{2}}(C^{-1}-I)A^{-\frac{1}{2}}\\  &=A^{-\frac{1}{2}}(QD^{-1}Q^T-I)A^{-\frac{1}{2}}\\  &=A^{-\frac{1}{2}}Q(D^{-1}-I)(A^{-\frac{1}{2}}Q)^T.\end{aligned}

因為 A^{-\frac{1}{2}}Q 可逆,B^{-1}-A^{-1} 相合於 D^{-1}-I。利用 Sylvester 慣性定律,從 A\succcurlyeq B\succ 0 可推論 I\succcurlyeq D\succ 0,這表明 1\ge\lambda_i>0,就有 \lambda_i^{-1}\ge 1i=1,\ldots,n。因此,D^{-1}\succcurlyeq I,也就證明 B^{-1}\succcurlyeq A^{-1}

 
證明二

我們用相合變換實現對角化。考慮下列定理 (見“半正定矩陣的偏序關係”,定理五):若 A\succcurlyeq 0B\succcurlyeq 0,則存在一可逆矩陣 P 使得 P^TAP=\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)P^TBP=M=\mathrm{diag}(\mu_1,\ldots,\mu) 都是對角矩陣。故知 A 相合於 \LambdaB 相合於 M。使用上面兩式,

\Lambda-M=P^TAP-P^TBP=P^{T}(A-B)P

可知 A-B 相合於 \Lambda-M。因為 A\succ 0B\succ 0,即有 \Lambda\succ 0M\succ 0。再次使用相合變換計算

\begin{aligned}  M^{-1}-\Lambda^{-1}&=(P^TBP)^{-1}-(P^TAP)^{-1}\\  &=P^{-1}B^{-1}(P^{-1})^T-P^{-1}A^{-1}(P^{-1})^T\\  &=P^{-1}(B^{-1}-A^{-1})(P^{-1})^T,\end{aligned}

即知 B^{-1}-A^{-1} 相合於 M^{-1}-\Lambda^{-1}。同樣利用 Sylvester 慣性定律,從 A\succcurlyeq B\succ 0 可推論 \Lambda\succcurlyeq M\succ 0,這表明 \lambda_i\ge\mu_i>0,就有 \mu_i^{-1}\ge \lambda_i^{-1}i=1,\ldots,n。所以,M^{-1}\succcurlyeq \Lambda^{-1},即證明 B^{-1}\succcurlyeq A^{-1}

 
如果 A, B 是負定矩陣,原命題仍然成立嗎?若 a,b 是實數,且 0>b\ge a,則 a^{-1}\ge b^{-1}。仿照實數的陳述,負定矩陣的命題為:若 A,B 是實對稱矩陣,且 0 \succ B \succcurlyeq A,則 A^{-1}\succcurlyeq B^{-1}。使用上述方法亦可得證。

 
證明三

使用這個性質:若 An\times n 階矩陣,則對於任意 n\times m 階矩陣 X,以下關係成立 (見“半正定矩陣的偏序關係”,定理三):

A\succcurlyeq 0~~~\Leftrightarrow~~~X^TAX\succcurlyeq 0

A 替換為 A-B,因為 A-B\succcurlyeq 0 同義於 A\succcurlyeq B,也就有

A\succcurlyeq B~~~\Leftrightarrow~~~X^TAX\succcurlyeq X^TBX

B=IX=A^{-\frac{1}{2}} (因為 A\succ 0),則得

A\succcurlyeq I~~~\Rightarrow~~~A^{-\frac{1}{2}}AA^{-\frac{1}{2}}\succcurlyeq A^{-\frac{1}{2}}IA^{-\frac{1}{2}}~~~\Rightarrow~~~I\succcurlyeq A^{-1}

再看一般情況,令 X=B^{-\frac{1}{2}} (因為 B\succ 0),

A\succcurlyeq B~~~\Rightarrow~~~B^{-\frac{1}{2}}AB^{-\frac{1}{2}}\succcurlyeq B^{-\frac{1}{2}}BB^{-\frac{1}{2}}~~~\Rightarrow~~~B^{-\frac{1}{2}}AB^{-\frac{1}{2}}\succcurlyeq I

利用前面的結果,可知

B^{-\frac{1}{2}}AB^{-\frac{1}{2}}\succcurlyeq I~~~\Rightarrow~~~I\succcurlyeq B^{\frac{1}{2}}A^{-1}B^{\frac{1}{2}}

最後得到

I\succcurlyeq B^{\frac{1}{2}}A^{-1}B^{\frac{1}{2}}~~~\Rightarrow~~~B^{-\frac{1}{2}}IB^{-\frac{1}{2}}\succcurlyeq B^{-\frac{1}{2}}B^{\frac{1}{2}}A^{-1}B^{\frac{1}{2}}B^{-\frac{1}{2}}~~~\Rightarrow~~~B^{-1}\succcurlyeq A^{-1}

This entry was posted in 答讀者問, 二次型 and tagged , , , . Bookmark the permalink.

1 則回應給 答陳威丞──關於半正定矩陣的一個證明問題

  1. 陳威丞 說:

    感謝老師的幫忙~~~
    我是碩二的學生最近忙著寫論文,但有時間我會抽空來研讀老師的其他線性代數的理論,
    若是有其他問題再來請教老師您~~
    非常感謝~~nn

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

你正使用 WordPress.com 帳號留言。 登出 / 變更 )

Twitter picture

你正使用 Twitter 帳號留言。 登出 / 變更 )

Facebook照片

你正使用 Facebook 帳號留言。 登出 / 變更 )

Google+ photo

你正使用 Google+ 帳號留言。 登出 / 變更 )

連結到 %s