每週問題 December 3, 2012

本週問題是證明正交補餘的一些基本性質。

Let \mathcal{X} be a subspace of an inner product space \mathcal{V}. Prove the following statements.
(a) \mathcal{X}\cap\mathcal{X}^{\perp}=\{\mathbf{0}\}.
(b) \mathcal{X}+\mathcal{X}^{\perp}=\mathcal{V}.
(c) \dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{X}^{\perp}=\dim\mathcal{V}.
(d) (\mathcal{X}^{\perp})^{\perp}=\mathcal{X}.

 
參考解答:

(a) 令 \mathbf{x}\in\mathcal{X}\mathbf{x}\in\mathcal{X}^{\perp},則 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=0,所以 \mathbf{x}=\mathbf{0}

(b) 令 n=\dim\mathcal{V}。若 \mathcal{X}=\{\mathbf{0}\}\mathcal{X}=\mathcal{V},顯然有 \mathcal{X}+\mathcal{X}^{\perp}=\mathcal{V}。以下考慮 \dim\mathcal{V}=k0<k<n。令 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k\}\mathcal{X} 的一組單範正交基底 (orthonormal basis)。對於任一 \mathbf{v}\in\mathcal{V},寫出 \mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_k\mathbf{x}_k,其中 c_i=\left\langle\mathbf{x}_i,\mathbf{v}\right\rangle,則 \mathbf{y}=\mathbf{v}-\mathbf{x} 正交於 \mathcal{X}。證明如下:對於每一 i=1,\ldots,k

\begin{aligned}  \left\langle\mathbf{x}_i,\mathbf{y}\right\rangle  &=\left\langle\mathbf{x}_i,\mathbf{v}-\sum_{j=1}^kc_j\mathbf{x}_j\right\rangle\\  &=\left\langle\mathbf{x}_i,\mathbf{v}\right\rangle-  \sum_{j=1}^kc_j\left\langle\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j\right\rangle\\  &=c_i-c_i=0,\end{aligned}

得知 \mathbf{y} 正交於所有基底向量 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k,因此 \mathbf{y}\in\mathcal{X}^{\perp}。所以,任一 \mathbf{v}\in\mathcal{V} 皆可分解成 \mathbf{v}=\mathbf{x}+\mathbf{y},其中 \mathbf{x}\in\mathcal{X}\mathbf{y}\in\mathcal{X}^{\perp},證得 \mathcal{V}=\mathcal{X}+\mathcal{X}^{\perp}

(c) 由 (b) 可知 \dim\mathcal{V}=\dim(\mathcal{X}+\mathcal{X}^{\perp}),由 (a) 可知 \dim(\mathcal{X}+\mathcal{X}^{\perp})=\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{X}^{\perp}

(d) 利用 (c) 恆等式:\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{X}^{\perp}=\dim\mathcal{V},將 \mathcal{X} 取代為 \mathcal{X}^{\perp}, 就有 \dim\mathcal{X}^{\perp}+\dim(\mathcal{X}^{\perp})^{\perp}=\dim\mathcal{V},立得 \dim(\mathcal{X}^{\perp})^{\perp}=\dim\mathcal{X}。若 \mathbf{x}\in\mathcal{X}, 則 \mathbf{x}\perp\mathcal{X}^{\perp},這意味 \mathcal{X}\subseteq(\mathcal{X}^{\perp})^{\perp}。但子空間 \mathcal{X}(\mathcal{X}^{\perp})^{\perp} 有相同的維數,因此證明 (\mathcal{X}^{\perp})^{\perp}=\mathcal{X}

PowSol-Dec-3-12

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