限定算子的特徵值與特徵向量 (上)

本文的閱讀等級:中級

\mathcal{V} 為一向量空間,T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為一線性變換 (亦稱線性算子)。若 \mathcal{X}\mathcal{V} 的一個子空間,且對於每一 \mathbf{x}\in\mathcal{X},都有 T(\mathbf{x})\in\mathcal{X},即 T(\mathcal{X})\subseteq\mathcal{X},則 \mathcal{X} 稱為 T 的不變子空間 (invariant subspace)。我們可以設定不變子空間 \mathcal{X} 等於 T 的定義域和到達域,稱為限定算子 (restriction),記作 T_{/\mathcal{X}}:\mathcal{X}\to\mathcal{X}。限定算子和不變子空間是一套極為有效的線性算子結構分析工具 (見“不變子空間──解構線性算子的利器”),本文介紹限定算子的特徵值與特徵向量計算方法。

 
T_{/\mathcal{X}}:\mathcal{X}\to\mathcal{X} 是一限定算子,\mathfrak{B}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\}\mathcal{X} 的一組基底,且 T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_j)=\mathbf{w}_jj=1,\ldots,k。因此,存在唯一的 k\times k 階矩陣 A=[a_{ij}] 使得

\begin{aligned}  \mathbf{w}_1=T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_1)&=a_{11}\mathbf{v}_1+a_{21}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{k1}\mathbf{v}_k\\  \mathbf{w}_2=T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_2)&=a_{12}\mathbf{v}_1+a_{22}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{k2}\mathbf{v}_k\\  &\vdots\\  \mathbf{w}_k=T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_k)&=a_{1k}\mathbf{v}_1+a_{2k}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{kk}\mathbf{v}_k.\end{aligned}

上面的限定算子變換公式是整個論述的核心。考慮 \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k,使用變換公式,

\begin{aligned}  T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x})&=T_{/\mathcal{X}}\left(\displaystyle\sum_{j=1}^kc_j\mathbf{v}_j\right)=\displaystyle\sum_{j=1}^kc_jT_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_j)\\  &=\displaystyle\sum_{j=1}^kc_j\sum_{i=1}^ka_{ij}\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k(a_{ij}c_j)\mathbf{v}_i.\end{aligned}

將向量 \mathbf{x} 參考基底 \mathfrak{B} 的座標向量記為 [\mathbf{x}]_\mathfrak{B}=(c_1,\ldots,c_2)^T,則 T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x}) 參考 \mathfrak{B} 的座標向量 \begin{bmatrix}T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x})\end{bmatrix}_\mathfrak{B} 可由下列矩陣乘法求得:

\begin{bmatrix}T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x})\end{bmatrix}_\mathfrak{B}=\begin{bmatrix}  a_{11}c_1+a_{12}c_2+\cdots+a_{1k}c_k\\  a_{21}c_1+a_{22}c_2+\cdots+a_{2k}c_k\\  \vdots\\  a_{k1}c_1+a_{k2}c_2+\cdots+a_{kk}c_k  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\  a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_1\\  c_2\\  \vdots\\  c_k  \end{bmatrix}

我們要求 T_{/\mathcal{X}} 參考 \mathfrak{B} 的表示矩陣 \begin{bmatrix}T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{B} 滿足

\begin{bmatrix}T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x})\end{bmatrix}_\mathfrak{B}=\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{B}[\mathbf{x}]_\mathfrak{B}

即知

\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{B}=\begin{bmatrix}  &&&\\  \begin{bmatrix}T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_1)\end{bmatrix}_\mathfrak{B}&\begin{bmatrix}T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_2)\end{bmatrix}_\mathfrak{B}&\cdots&\begin{bmatrix}T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_k)\end{bmatrix}_\mathfrak{B}\\  &&&  \end{bmatrix}=A

上式指出 \begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{B} 的第 j 行等於基底向量 \mathbf{v}_j 的像 (image) T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_j) 參考 \mathfrak{B} 的座標向量。

 
接下來的問題要解出限定算子 T_{/\mathcal{X}} 的特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_k 和對應的特徵向量 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k。對於 j=1,\ldots,k

\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x}_j)  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}}=\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{B}\begin{bmatrix}\mathbf{x}_j\end{bmatrix}_\mathfrak{B}

T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x}_j)=\lambda_j\mathbf{x}_j,利用座標向量 [\cdot]_\mathfrak{B} 的線性變換性質,即有

\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x}_j)  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}}=\begin{bmatrix}  \lambda_j\mathbf{x}_j  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}}=\lambda_j\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_j  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}}

合併上面二式,可得限定算子 T_{/\mathcal{X}} 參考 \mathfrak{B} 的特徵方程表達式:

\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{B}\begin{bmatrix}\mathbf{x}_j\end{bmatrix}_\mathfrak{B}=\lambda_j\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_j  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}},~~~j=1,\ldots,k

換句話說,T_{/\mathcal{X}} 參考 \mathfrak{B} 的表示矩陣 \begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}} (即 A) 的特徵值就是 T_{/\mathcal{X}} 的特徵值,對應的特徵向量則是 T_{/\mathcal{X}} 的特徵向量參考 \mathfrak{B} 的座標向量。

 
下面我們用一個例子展示限定算子的特徵值和特徵向量計算過程。令 T_{/\mathcal{X}} 為一限定算子,\mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\},且 T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_1)=\mathbf{w}_1T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_2)=\mathbf{w}_2,其中

\mathbf{v}_1=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  0\\  -1  \end{array}\!\!\right],~~\mathbf{v}_2=\left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  2\\  -3  \end{array}\!\!\right],~~\mathbf{w}_1=\left[\!\!\begin{array}{r}  -1\\  -4\\  3  \end{array}\!\!\right],~~\mathbf{w}_2=\left[\!\!\begin{array}{r}  -3\\  -8\\  7\end{array}\!\!\right]

將給定的數值代入限定算子變換公式,以矩陣表示如下:

\left[\!\!\begin{array}{rr}  -1&-3\\  -4&-8\\  3&7  \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&2\\  0&2\\  -1&-3  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  a_{11}&a_{12}\\  a_{21}&a_{22}  \end{bmatrix}

由上式可解得 T_{/\mathcal{X}} 參考 \mathfrak{B}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} 的表示矩陣

\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}  \end{bmatrix}_\mathfrak{B}=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_1)  \end{bmatrix}_\mathfrak{B}&\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_2)  \end{bmatrix}_\mathfrak{B}  \end{bmatrix}=A=\begin{bmatrix}  a_{11}&a_{12}\\  a_{21}&a_{22}  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rr}  3&5\\  -2&-4  \end{array}\!\!\right]

寫出 A 的特徵多項式

p_A(t)=\det(A-tI)=\begin{vmatrix}  3-t&5\\  -2&-4-t  \end{vmatrix}=t^2+t-2=(t-1)(t+2)

故知 A 的特徵值是 1-2,對應的特徵向量分別是 \left[\!\!\begin{array}{r}  5\\  -2  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -1  \end{array}\!\!\right]。所以,T_{/\mathcal{X}} 有特徵值 \lambda_1=1,對應特徵向量

\mathbf{x}_1=5\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  0\\  -1  \end{array}\!\!\right]+(-2)\left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  2\\  -3  \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -4\\  1  \end{array}\!\!\right]

和特徵值 \lambda_2=-2,對應特徵向量

\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  0\\  -1  \end{array}\!\!\right]-\left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  2\\  -3  \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r}  -1\\  -2\\  2  \end{array}\!\!\right]

 
此例限定算子 T_{/\mathcal{X}} 擁有線性獨立的特徵向量集,\mathfrak{C}=\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\} 可為 \mathcal{X} 的一組基底,T_{/\mathcal{X}} 參考 \mathfrak{C} 的表示矩陣即是特徵值構成的對角矩陣

\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{C}=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x}_1)  \end{bmatrix}_\mathfrak{C}&\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x}_2)  \end{bmatrix}_\mathfrak{C}  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&0\\  0&-2  \end{array}\!\!\right]

定義可逆座標映射 L_B:\mathcal{X}\to\mathbb{R}^2L_C:\mathcal{X}\to\mathbb{R}^2 分別滿足 L_B(\mathbf{x})=[\mathbf{x}]_\mathfrak{B}L_C(\mathbf{x})=[\mathbf{x}]_\mathfrak{C}。以上結果可彙整成映射圖 (見“圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣”):

限定算子的特徵值與特徵向量

根據此圖很容易建立座標向量 [\mathbf{x}]_\mathfrak{B}[\mathbf{x}]_\mathfrak{C} 之間的座標變換,合併 [\mathbf{x}]_\mathfrak{B}\xrightarrow[]{~L_B^{-1}~}\mathbf{x}\mathbf{x}\xrightarrow[]{~L_C~}[\mathbf{x}]_\mathfrak{C},可得

[\mathbf{x}]_\mathfrak{C}=L_CL_B^{-1}\left([\mathbf{x}]_\mathfrak{B}\right)

同樣地,從上圖可知限定算子表示矩陣 \begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{B}\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{C} 的相似關係:

\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{C}=L_CL_B^{-1}\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{B}L_BL_C^{-1}=L_CL_B^{-1}\begin{bmatrix}  T_{/\mathcal{X}}\end{bmatrix}_\mathfrak{B}\left(L_CL_B^{-1}\right)^{-1}

剩下的工作是解出 L_CL_B^{-1}。令 [\mathbf{x}]_\mathfrak{B}=(b_1,b_2)^T,即有

\mathbf{x}=L_B^{-1}\left([\mathbf{x}]_\mathfrak{B}\right)=b_1\mathbf{v}_1+b_1\mathbf{v}_2

使用上式則得

\begin{aligned}   \begin{bmatrix}  \mathbf{x}\end{bmatrix}_\mathfrak{C} &=L_C(\mathbf{x})=L_C(b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2)\\  &=b_1L_C(\mathbf{v}_1)+b_2L_C(\mathbf{v}_2)\\  &=\begin{bmatrix}  L_C(\mathbf{v}_1)&L_C(\mathbf{v}_2)  \end{bmatrix}[\mathbf{x}]_\mathfrak{B}\\  &=\begin{bmatrix}  [\mathbf{v}_1]_\mathfrak{C}&[\mathbf{v}_2]_\mathfrak{C}  \end{bmatrix}[\mathbf{x}]_\mathfrak{B}.\end{aligned}

[\mathbf{v}_1]_\mathfrak{C}=(c_{11},c_{21})^T[\mathbf{v}_2]_\mathfrak{C}=(c_{12},c_{22})^T。將數值代入,基底向量 \mathbf{v}_1\mathbf{v}_2 至基底 \mathfrak{C}=\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\} 的座標映射滿足

\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&2\\  0&2\\  -1&-3  \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&-1\\  -4&-2\\  1&2  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  c_{11}&c_{12}\\  c_{21}&c_{22}  \end{bmatrix}

所以,[\mathbf{x}]_\mathfrak{B}[\mathbf{x}]_\mathfrak{C} 的座標變換矩陣表達式為

L_CL_B^{-1}=\begin{bmatrix}  [\mathbf{v}_1]_\mathfrak{C}&[\mathbf{v}_2]_\mathfrak{C}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  c_{11}&c_{12}\\  c_{21}&c_{22}  \end{bmatrix}=\displaystyle\frac{1}{3}\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&1\\  -2&-5  \end{array}\!\!\right]

 
下文我們將探討限定算子 T_{/\mathcal{X}} 的消滅多項式,即特徵多項式和最小多項式,以及它們與線性變換 T 的特徵多項式和最小多項式的關係。

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