每週問題 December 10, 2012

這是每一位學者都應該知道的矩陣指數計算問題。

Find e^A, where

A=\begin{bmatrix}  1&2\\  4&3  \end{bmatrix}.

 
參考解答:

矩陣函數的標準算法是對角化。寫出特徵多項式

\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}  1-\lambda&2\\  4&3-\lambda  \end{vmatrix}=\lambda^2-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1)

可知 A 有特徵值 5-1,再計算零空間 N(A-\lambda I) 即得對應的特徵向量:
\left[\!\!\begin{array}{c}  1\\  2  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -1  \end{array}\!\!\right]。將 A 對角化為 A=S\Lambda S^{-1},其中 \Lambda=\mathrm{diag}(5,-1)S=\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&1\\  2&-1  \end{array}\!\!\right],則

\begin{aligned}  e^A&=Se^\Lambda S^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&1\\  2&-1  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cc}  e^5&0\\  0&e^{-1}  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&1\\  2&-1  \end{array}\!\!\right]^{-1}\\  &=\displaystyle\frac{1}{3}\begin{bmatrix}  e^5+2e^{-1}&e^5-e^{-1}\\  2e^5-2e^{-1}&2e^5+e^{-1}  \end{bmatrix}.\end{aligned}

另一個作法是利用 Cayley-Hamiton 定理:A^2-4A-5I=(A-5I)(A+I)=0。考慮

e^t=(t-5)(t+1)q(t)+c_1t+c_0

A 替換 tI 替換 1,就有 e^A=c_1A+c_0I。將 t=5t=-1 代入 e^t 表達式,可得 5c_1+c_0=e^5-c_1+c_0=e^{-1},解出

\begin{aligned}  c_1&=\frac{1}{6}\left(e^5-e^{-1}\right),\\  c_0&=\frac{1}{6}\left(e^5+5e^{-1}\right).\end{aligned}

所以,

\begin{aligned}\displaystyle  e^A&=\frac{1}{6}\left(e^5-e^{-1}\right)\begin{bmatrix}  1&2\\  4&3  \end{bmatrix}+\frac{1}{6}\left(e^5+5e^{-1}\right)\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix}\\  &=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}  e^5+2e^{-1}&e^5-e^{-1}\\  2e^5-2e^{-1}&2e^5+e^{-1}  \end{bmatrix}.\end{aligned}

PowSol-Dec-10-12

Advertisements
本篇發表於 pow 特徵分析, 每週問題 並標籤為 。將永久鏈結加入書籤。

11 則回應給 每週問題 December 10, 2012

  1. Watt Lin 說道:

    這一題,我覺得,應該很簡單,卻斷斷續續,用了不少時間去解答。
    昨天中午抽空,先求出特徵值與特徵向量。
    下午,趁著工作有些片段休息,
    計算相似矩陣與對角矩陣,算錯好幾次,總算是找到對角化的方法。
    今天早上繼續最後階段,也有算錯,後來修正。
    最後,用Mathematica軟體驗證答案
    {{1, 0}, {0, 1}} + Sum[MatrixPower[{{1,2},{4,3}}, n]/n!, {n, 1, 20}]
    整個過程很有趣。
    後來發現,Mathematica提供一個函數MatrixExp[A],直接可得答案,而且答案不以「數值」呈現,矩陣4個元素,都用自然指數e表達,與筆算之結果相同。

    • ccjou 說道:

      從前有一個學生問我:既然 Matlab 和 Mathematica 這些軟體可以解線性方程,算出逆矩陣,特徵值特徵向量,甚至矩陣指數,那麼課堂上何必花這麼多做時間做計算練習?我想不起來當時如何回答,就是現在,我也不知道該如何回答。

      • Watt Lin 說道:

        將來若有一天,電腦突然停止運作,
        懂筆算而且熟練的人,至少能夠維持一些基本計算。

  2. Watt Lin 說道:

    請問老師,相似矩陣S,是否有無窮多組?
    我作答過程,把其中一個特徵向量,寫為{-1,1},而不是{1,-1},最後也算出正確答案。
    換言之,S若寫為{{3, -5}, {6,5}},每個行向量變換不同比例,是否也可行?

    • ccjou 說道:

      電影常有這種劇情:當災難發生或文明近乎毀滅時,掌握基本求生能力的人才有辦法活下來。

      關鍵在於 S 必須使 A 對角化。我們可以隨意選擇特徵向量 c(1,2)d(1,-1),只要 c,d 不等於零,因此符合要求的 S 有無窮多個,例如,S=\begin{bmatrix} 2&-3\\ 4&3 \end{bmatrix}。但 T=\begin{bmatrix} 3&6\\ -5&5 \end{bmatrix} 未能將 A 對角化,因為 (3,-5)(6,5) 不是特徵向量,因此 e^A\neq Te^\Lambda T^{-1}

    • Watt Lin 說道:

      Sorry!我前一則回應,{{3, -5}, {6,5}}是Mathematica軟體的寫法,先寫第一列,後寫第二列。我的意思是兩個行向量{3,6}與{-5,5}組成的矩陣。
      謝謝老師的說明,我懂了!

      2009年的年底,我購買老師的光碟,12月31日收到,
      2010年1月1日開始看,有時一天看三小時課程,
      有時一週只看一兩回,斷斷續續,終於在2月份看完,
      那天恰好是農曆的除夕 (又是一種「年底」)。

      我沒作習題,看老師把矩陣對角化,自己認為有看懂。
      隔兩年多,將近三年,昨天我才真的作矩陣對角化,
      過程出錯很多次,反覆驗算修正。

      有個體驗,看別人算出答案,未必真懂。
      自己親自計算,得到正確答案,才是學會。

      很感謝老師經常在blog發表文章,啟發思考。

  3. Watt Lin 說道:

    再向老師請教一個問題,歐拉公式,若引數替換為矩陣
    exp(iA) = cos(A) + i sin(A)
    是否成立?

    多年前,我曾經看到一本書,提到矩陣的三角函數,是把泰勒展開式的純量,替換為矩陣。
    我忘記那本書有沒有提到矩陣的歐拉公式,或許沒有吧!年代久遠,印象不清楚了!

    不知sin與cos的矩陣函數可以應用於何處?
    Mathematica 有矩陣的指數函數,但無矩陣的三角函數,我猜想,是因為指數函數有比較廣泛的應用。

  4. Watt Lin 說道:

    沒有 Mathematica 或 Matlab 之類的軟體,也可用WolframAlpha網站看答案。
    我覺得,自己先拿筆算算,用數學軟體網站來驗證,會得到比較多樂趣。
    以下連結供參考:
    (1) http://www.wolframalpha.com/input/?i={{1%2C2}%2C{4%2C3}}
    (2) http://www.wolframalpha.com/input/?i=MatrixExp%5B{{1%2C2}%2C{4%2C3}}]

    • Watt Lin 說道:

      超連結被Wordpress的系統打斷,請複製 http …. 至 結尾,貼到網址列。

    • Watt Lin 說道:

      (1) wolframalpha.com/input/?i={{1%2C2}%2C{4%2C3}}
      (2) wolframalpha.com/input/?i=MatrixExp%5B{{1%2C2}%2C{4%2C3}}]
      省略 http,省略www,也能進入網站。

  5. ccjou 說道:

    矩陣函數的歐拉公式 \exp(iA)=\cos A+i\sin A 仍然成立,從對角化之後的主對角矩陣各元都滿足 \exp(i\lambda)=\cos\lambda+i\sin\lambda 即可知。矩陣指數的用途在於解線性微分方程,因此比矩陣三角函數較為常見。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s