實對稱矩陣特徵值和特徵向量的探索解法

本文的閱讀等級:初級

實對稱矩陣是當今應用最廣的一種特殊矩陣,一方面因為實對稱矩陣「天生」就出現在許多場合 (見“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”),另一方面因為它具備一些良好的性質,包括特徵值為實數,而且不論特徵值是否相重,存在完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量集,也就是說,實對稱矩陣可正交對角化 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。本文介紹求解實對稱矩陣特徵值和特徵向量的探索法。這裡所指的探索法包含幾個常用的技巧:(1) 尋找矩陣的特別模式;(2) 觀察出特徵值和特徵向量 (見“肉眼判讀特徵向量”);(3) 選擇有效的變數;(4) 利用對稱性 (泛指一般對稱性);(5) 利用特徵值性質及特徵向量的正交性。為甚麼要特別指定實對稱矩陣?因為實對稱矩陣有完全正交的特徵向量集,這個限制可大大增強探索法的威力。下面選取的例子都具有簡單的形式,甚或包含許多零元,目的在彰顯解決實對稱矩陣特徵分析問題的重要技巧,讀者可以從中歸納出應付其他情況的有效策略。不過,探索法所能解決的問題種類有限,當矩陣尺寸增大或不具備特殊模式時,我們仍須仰賴數值方法。此外,請讀者不要將本文介紹的探索法當作唯一的好方法。在討論之前,我引用拉森 (Loren C. Larson) 的一段話[1]

一個問題,通常可有幾種解法,並且常有一些明顯不同的探索法。所以不要以「先入為主」之見處理每個問題,更不要帶有某個問題只能用某一種特殊的探索法來求解的框框。提出一個問題時,關鍵是把它解出來。正是用一切方法去解題而累積了經驗,才使人們得到可能解題成功的高度洞察力。

 
例一

A=\left[\!\!\begin{array}{cccc}  1&0&1&0\\  0&1&0&1\\  1&0&1&0\\  0&1&0&1  \end{array}\!\!\right]

矩陣 A 具有棋盤型態。因為 A 的第一行和第三行相同,第二行和第四行相同,即知 A 不可逆,故有特徵值 0。根據 A 的行向量模式,立得對應特徵值 0 的二個線性獨立特徵向量 \mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  0\\  -1\\  0  \end{array}\!\!\right]\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r}  0\\  1\\  0\\  -1  \end{array}\!\!\right],可知特徵值 0 的代數重數等於 2 (至目前為止),令 \lambda_1=\lambda_2=0。此外,A 的每一列都包含二個 1 和二個 0,每一列的總和皆等於 2,可知 A 有特徵值 \lambda_3=2,對應特徵向量 \mathbf{x}_3=\left[\!\!\begin{array}{c}  1\\  1\\  1\\  1  \end{array}\!\!\right]。一旦獲得了三個特徵值,最後一個未知特徵值即可由矩陣跡數解出,0+0+2+\lambda_4=\mathrm{trace}A=4,故 \lambda_4=2,對應的特徵向量 \mathbf{x}_4 正交於 \mathbf{x}_ii=1,2,3,觀察可得 \mathbf{x}_4=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -1\\  1\\  -1  \end{array}\!\!\right]。下面這個同型態的 8\times 8 階矩陣提供給讀者練習,將 10 互換會改變特徵值和特徵向量嗎?

\left[\!\!\begin{array}{cccccccc}  1&0&1&0&1&0&1&0\\  0&1&0&1&0&1&0&1\\  1&0&1&0&1&0&1&0\\  0&1&0&1&0&1&0&1\\  1&0&1&0&1&0&1&0\\  0&1&0&1&0&1&0&1\\  1&0&1&0&1&0&1&0\\  0&1&0&1&0&1&0&1  \end{array}\!\!\right]

 
例二

A=\left[\!\!\begin{array}{cccc}  1&1&1&0\\  1&1&0&1\\  1&0&1&1\\  0&1&1&1  \end{array}\!\!\right]

我們發現 A 的每一列都包含三個 1 和一個 0,可知 A 有特徵值 \lambda_1=3,對應特徵向量 \mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{c}  1\\  1\\  1\\  1  \end{array}\!\!\right]。再將注意力集中在主對角元,從主對角元減去甚麼數字 \lambda 可使 A-\lambda I 不可逆?利用對稱性,不難得知 A 有特徵值 1,這時

A-I=\left[\!\!\begin{array}{cccc}  0&1&1&0\\  1&0&0&1\\  1&0&0&1\\  0&1&1&0  \end{array}\!\!\right]

因為 A-I 的第一行和第四行相同,第二行和第三行相同,這說明 A 有特徵向量 \mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  0\\  0\\  -1  \end{array}\!\!\right]\mathbf{x}_3=\left[\!\!\begin{array}{r}  0\\  1\\  -1\\  0  \end{array}\!\!\right],對應相重特徵值 \lambda_2=\lambda_3=1。最後一個特徵值可由跡數解出,3+1+1+\lambda_4=\mathrm{trace}A=4,故得 \lambda_4=-1,對應 \mathbf{x}_4=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -1\\  -1\\  1  \end{array}\!\!\right]。下面二個型態類似的 8\times 8 階矩陣留給讀者練習:

\left[\!\!\begin{array}{cccccccc}  1&1&1&1&1&1&1&0\\  1&1&1&1&1&1&0&1\\  1&1&1&1&1&0&1&1\\  1&1&1&1&0&1&1&1\\  1&1&1&0&1&1&1&1\\  1&1&0&1&1&1&1&1\\  1&0&1&1&1&1&1&1\\  0&1&1&1&1&1&1&1  \end{array}\!\!\right],~~\left[\!\!\begin{array}{cccccccc}  0&1&1&1&1&1&1&1\\  1&0&1&1&1&1&1&1\\  1&1&0&1&1&1&1&1\\  1&1&1&0&1&1&1&1\\  1&1&1&1&0&1&1&1\\  1&1&1&1&1&0&1&1\\  1&1&1&1&1&1&0&1\\  1&1&1&1&1&1&1&0  \end{array}\!\!\right]

 
例三

A=\left[\!\!\begin{array}{cccc}  1&1&1&1\\  1&1&1&1\\  1&1&0&0\\  1&1&0&0  \end{array}\!\!\right]

觀察發現 A 的第一行和第二行相同,第三行和第四行相同,因此不可逆,A 有零特徵值,故知對應相重特徵值 \lambda_1=\lambda_2=0 的特徵向量是 \mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -1\\  0\\  0  \end{array}\!\!\right]\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r}  0\\  0\\  1\\  -1  \end{array}\!\!\right]。接下來我們在 \mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\} 的正交補餘尋找另外二個特徵向量,子空間 \mathcal{X}^{\perp} 內的向量可表示為 \mathbf{x}=\begin{bmatrix}  a\\  a\\  b\\  b  \end{bmatrix},我們要求 a,b 不得同時為零。若 a\neq 0,在不失一般性的原則下,可設 a=1。考慮 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x},代入數值計算,

A\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{cccc}  1&1&1&1\\  1&1&1&1\\  1&1&0&0\\  1&1&0&0  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  1\\  1\\  b\\  b  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  2+2b\\  2+2b\\  2\\  2  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  1\\  1\\  b\\  b  \end{bmatrix}

上式給出兩個方程式:2+2b=\lambda2=\lambda b,合併為 \lambda^2-2\lambda-4=0,由此解出 \lambda_3=1+\sqrt{5}, \lambda_4=1-\sqrt{5},將特徵值代回 b=\lambda/2-1,可得對應的特徵向量 \mathbf{x}_3=\left[\!\!\begin{array}{c}  1\\  1\\  (-1+\sqrt{5})/2\\  (-1+\sqrt{5})/2  \end{array}\!\!\right]\mathbf{x}_4=\left[\!\!\begin{array}{c}  1\\  1\\  -(1+\sqrt{5})/2\\  -(1+\sqrt{5})/2  \end{array}\!\!\right]。下面這個同型態的 8\times 8 階矩陣留給讀者練習,如果將 10 互換會改變特徵值和特徵向量嗎?

\left[\!\!\begin{array}{cccccccc}  1&1&1&1&1&1&1&1\\  1&1&1&1&1&1&1&1\\  1&1&1&1&1&1&1&1\\  1&1&1&1&1&1&1&1\\  1&1&1&1&0&0&0&0\\  1&1&1&1&0&0&0&0\\  1&1&1&1&0&0&0&0\\  1&1&1&1&0&0&0&0  \end{array}\!\!\right]

 
例四

A=\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  1&-1&0&0\\  -1&2&-1&0\\  0&-1&2&-1\\  0&0&-1&1  \end{array}\!\!\right]

矩陣 A 的每一列的所有元總和都等於 0,立知 \lambda_1=0,對應特徵向量 \mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{c}  1\\  1\\  1\\  1  \end{array}\!\!\right]。仔細檢視主對角元,甚麼數字 \lambda 可使 A-\lambda I 不可逆?利用對稱性,可知 \lambda_2=2,因為

A-2I=\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  -1&-1&0&0\\  -1&0&-1&0\\  0&-1&0&-1\\  0&0&-1&-1  \end{array}\!\!\right]

的第一行和第四行相加等於第二行和第三行相加,也就得到 \mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -1\\  -1\\  1  \end{array}\!\!\right]。如同例三解法,接下來我們在 \mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\} 的正交補餘尋找另外二個特徵向量,子空間 \mathcal{X}^{\perp} 內的向量可表示為 \mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{r}  a\\  b\\  -b\\  -a  \end{array}\!\!\right]。設 a=1,計算 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x},可得

A\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  1&-1&0&0\\  -1&2&-1&0\\  0&-1&2&-1\\  0&0&-1&1  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  b\\  -b\\  -1  \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix}  1-b\\  3b-1\\  1-3b\\  b-1  \end{bmatrix}=\lambda\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  b\\  -b\\  -1  \end{array}\!\!\right]

上式給出二個方程式:1-b=\lambda3b-1=\lambda b,合併為 \lambda^2-4\lambda+2=0,解出 \lambda_3=2+\sqrt{2}\lambda_4=2-\sqrt{2},將特徵值代回 b=1-\lambda,可得 \mathbf{x}_3=\begin{bmatrix}  1\\  -1-\sqrt{2}\\  1+\sqrt{2}\\  -1  \end{bmatrix}\mathbf{x}_4=\begin{bmatrix}  1\\  -1+\sqrt{2}\\  1-\sqrt{2}\\  -1  \end{bmatrix}

 
欲應用前面介紹的探索原則和技巧解出下列 8\times 8 階矩陣的特徵值和特徵向量可能會遭遇一些阻礙:

A=\left[\!\!\begin{array}{rrrrrrrr}  1&-1&0&0&0&0&0&0\\  -1&2&-1&0&0&0&0&0\\  0&-1&2&-1&0&0&0&0\\  0&0&-1&2&-1&0&0&0\\  0&0&0&-1&2&-1&0&0\\  0&0&0&0&-1&2&-1&0\\  0&0&0&0&0&-1&2&-1\\  0&0&0&0&0&0&-1&1  \end{array}\!\!\right]

畢竟,在探索問題的最初階段,我們必須保持靈活。如果既有的辦法不能奏效,便應尋求其他解題思路。一個可行的方法是嘗試解決尺寸較小的問題,譬如,5\times 5 階或 6\times 6 階同類型矩陣,從中或許可以發掘新的探索技術。照前例,這個問題就留給讀者自行完成。

 
參考來源:
[1] Loren C. Larson, Problem-Solving Through Problems, Springer, 1983. 中譯本《通過問題學解題》,九章出版社,1998.

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6 則回應給 實對稱矩陣特徵值和特徵向量的探索解法

  1. JOKER 說道:

    如果是
    2 1 1
    1 2 1
    1 1 2
    怎樣 找特徵向量

  2. JOKER 說道:

    例題一
    特徵值 0 跟2 代出的模式不同

    為什特徵值 2 代出的
    不是(1 .0 .-1.0) (0.1. 0.-1)

  3. JOKER 說道:

    修改
    例題一
    特徵值 0 跟2 代出的模式不同

    為什特徵值 2 代出的

    (1.0.1.0) (0.1.0.1)

  4. JOKER 說道:

    不好意
    01/25/2016 at 9:51 上午
    01/25/2016 at 9:52 上午
    能刪除
    改成

    例題一
    特徵值 0 跟2 代出的模式不同

    為什特徵值 2 代出的

    而不是
    (1.0.1.0) (0.1.0.1)

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