循環向量定理

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A 為一個 n\times n 階矩陣。對於 n 維向量 \mathbf{x},如果向量集 \{\mathbf{x}, A\mathbf{x}, \ldots, A^{n-1}\mathbf{x}\} 構成 \mathbb{C}^n 的一組基底,則 \mathbf{x} 稱為 A 的一個循環向量 (cyclic vector)。任一方陣 A 未必總是存在循環向量,譬如,單位矩陣 I_n,因為對於所有 \mathbf{x}I_n\mathbf{x}=\mathbf{x}。本文證明循環向量定理,包含下列等價陳述:

  1. A 有一個循環向量。
  2. A 相似於一個相伴矩陣 (companion matrix)。
  3. A 的最小多項式即為其特徵多項式。
  4. AB 是可交換矩陣,AB=BA,則 B 是由 A 形成的矩陣多項式,即 B=p(A)p(t) 是一個多項式。

 
(1) \Rightarrow (2)

A 有一個循環向量 \mathbf{x},則 S=\begin{bmatrix}  \mathbf{x}&A\mathbf{x}&\cdots&A^{n-1}\mathbf{x}  \end{bmatrix}n\times n 階可逆矩陣。設唯一數組 c_0, c_1,\ldots, c_{n-1} 使得

c_0\mathbf{x}+c_1A\mathbf{x}+\cdots+c_{n-1}A^{n-1}\mathbf{x}+A^n\mathbf{x}=\mathbf{0}

就有

\begin{aligned}  AS&=A\begin{bmatrix}  \mathbf{x}&A\mathbf{x}&\cdots&A^{n-1}\mathbf{x}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A\mathbf{x}&A^2\mathbf{x}&\cdots &A^n\mathbf{x}  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  \mathbf{x}&A\mathbf{x}&\cdots&A^{n-1}\mathbf{x}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&0&\cdots&0&-c_0\\  1&0&\cdots&0&-c_1\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&1&-c_{n-1}  \end{bmatrix}\\  &=SC,\end{aligned}

上式中,C 是特徵多項式 p_C(t)=t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0 的相伴矩陣 (見“利用循環子空間計算特徵多項式”),因此證明 A 相似於一個相伴矩陣。

 
(2) \Rightarrow (1)

A 相似於相伴矩陣 C,即存在一個可逆矩陣 S=\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2&\cdots&\mathbf{x}_n  \end{bmatrix} 使得 AS=SC,如下:

A\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2&\cdots&\mathbf{x}_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2&\cdots &\mathbf{x}_n  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&0&\cdots&0&-c_0\\  1&0&\cdots&0&-c_1\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&1&-c_{n-1}  \end{bmatrix}

乘開上式,置換等號兩邊,可得

\begin{aligned}  \mathbf{x}_2&=A\mathbf{x}_1\\  \mathbf{x}_3&=A\mathbf{x}_2=A^2\mathbf{x}_1\\  &\vdots\\  \mathbf{x}_n&=A\mathbf{x}_{n-1}=A^{n-1}\mathbf{x}_1.  \end{aligned}

因此證明 \{\mathbf{x}_1,A\mathbf{x}_1,\ldots,A^{n-1}\mathbf{x}_1\} 是線性獨立集,故 A 有一循環向量 \mathbf{x}_1

 
(2) \Leftrightarrow (3)

相伴矩陣

C=\begin{bmatrix}  0&0&\cdots&0&-c_0\\  1&0&\cdots&0&-c_1\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  0&0&\cdots&1&-c_{n-1}  \end{bmatrix}

的最小多項式和特徵多項式同為

p(t)=t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0

證明見“多項式的相伴矩陣”。

 
(1) \Rightarrow (4)

\mathbf{x}A 的一個循環向量,對於任一 n\times n 階矩陣 B,存在唯一數組 b_0, b_1,\ldots, b_{n-1} 使得

B\mathbf{x}=b_0\mathbf{x}+b_1A\mathbf{x}+\cdots+b_{n-1}A^{n-1}\mathbf{x}=\left(b_0I+b_1A+\cdots+b_{n-1}A^{n-1}\right)\mathbf{x}

p(t)=b_0+b_1t+\cdots+b_{n-1}t^{n-1},則 B\mathbf{x}=p(A)\mathbf{x}。若 AB 是可交換矩陣,則 A^kB 也是可交換矩陣。利用此性質並代入上面結果,對於非負整數 k,可得

BA^k\mathbf{x}=A^kB\mathbf{x}=A^kp(A)\mathbf{x}=p(A)A^k\mathbf{x}

或改寫為 (B-p(A))A^k\mathbf{x}=\mathbf{0}。我們定義 A^0\equiv I。因為 \mathbf{x}, A\mathbf{x},\ldots, A^{n-1}\mathbf{x} 構成一線性獨立集,即知 \dim N(B-p(A))=n,利用秩─零度定理可知 \mathrm{rank}(B-p(A))=0,故 B=p(A),即證得所求。

 
(4) \Rightarrow (1)

A 沒有循環向量,我們只要證明存在一 B 使得 AB=BA,但 B 不可表示為矩陣多項式 p(A)。根據循環分解定理 (見“不變子空間──解構線性算子的利器”),向量空間 \mathbb{C}^n 有一基底 \mathfrak{B}=\mathfrak{B}_1\cup\cdots\cup\mathfrak{B}_m,其中 \mathfrak{B}_j=\{\mathbf{v}_j,A\mathbf{v}_j,\ldots,A^{k_j-1}\mathbf{v}_j\} 代表第 j 個循環子空間基底,\sum_{j=1}^mk_j=n,使得 AS=SC,或

C=S^{-1}AS=\begin{bmatrix}  C_1&&&\\  &\ddots&&\\  &&C_{m-1}&\\  &&&C_m  \end{bmatrix}

其中 S 的行向量由 \mathfrak{B}n 個基底向量組成,主對角分塊 C_ik_i\times k_i 階相伴矩陣,且 C_i 的特徵多項式 (也稱為 A 的不變因子) p_i(t) 整除 C_{i+1} 的特徵多項式 p_{i+1}(t)i=1,\ldots,m-1。這個由相伴矩陣構成的分塊對角矩陣 C 稱為有理標準形式 (rational canonical form)。因為 A 不存在循環向量,可知 m>1。設 n\times n 階矩陣 B 滿足

\begin{aligned}  B(A^j\mathbf{v}_1)&=A^j\mathbf{v}_1,~~j=0,1,\ldots,k_1-1,\\  &\vdots\\  B(A^j\mathbf{v}_{m-1})&=A^j\mathbf{v}_{m-1},~~j=0,1,\ldots,k_{m-1}-1,\\  B(A^j\mathbf{v}_m)&=\mathbf{0},~~j=0,1,\ldots,k_m-1,\end{aligned}

將方程組整理成 BS=SD,或

D=S^{-1}BS=\begin{bmatrix}  I_{k_1}&&&\\   &\ddots&&\\  &&I_{k_{m-1}}&\\  &&&0  \end{bmatrix}

明顯地,CD=DC,因此

\begin{aligned}  AB&=(SCS^{-1})(SDS^{-1})=SCDS^{-1}=SDCS^{-1}\\  &=(SDS^{-1})(SCS^{-1})=BA.\end{aligned}

最後我們證明 B 不為 A 的矩陣多項式。使用反證法。令 q(t)=b_0+b_1t+\cdots+b_{r-1}t^{r-1}。假設 B 可表示成矩陣多項式 B=q(A)=b_0I+b_1A+\cdots+b_{r-1}A^{r-1},則

\begin{aligned}  S^{-1}BS&=S^{-1}\left(b_0I+b_1A+\cdots+b_{r-1}A^{r-1}\right)S\\  &=b_0S^{-1}IS+b_1S^{-1}AS+\cdots+b_{r-1}S^{-1}A^{r-1}S\\  &=b_0I+b_1C+\cdots+b_{r-1}C^{r-1}\\  &=\begin{bmatrix}  \sum_{i=0}^{r-1}b_iC_1^i&&&\\  &\ddots&&\\  &&\sum_{i=0}^{r-1}b_iC_{m-1}^i&\\  &&&\sum_{i=0}^{r-1}b_iC_m^i  \end{bmatrix}=D.  \end{aligned}

比較最末等式兩邊,可知 \sum_{i=0}^{r-1}b_iC_m^i=q(C_m)=0,由此推論 C_m 的特徵多項式 p_m(t) 整除 q(t) (因為 C_m 的特徵多項式即為消滅 C_m 的最小多項式。)。在有理標準形式中,p_{m-1}(t) 整除 p_m(t),也就整除 q(t)。所以,q(C_{m-1})=\sum_{i=0}^{r-1}b_iC_{m-1}^i=0,但這與 D 的主對角分塊 I_{k_{m-1}} 相矛盾,因此證明 B 不可能是 A 的矩陣多項式。

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6 則回應給 循環向量定理

  1. edge 說:

    S空間感覺跟Krylove子空間很像
    循環向量跟其是否有些關係??

  2. ayl 說:

    关于(4)=>(1)的证明中,为什么在A不存在循环向量时,就可以假设文中的B?或者如果A存在循环变量,就不能像文中那样构建B?此处的B感觉有些突兀。

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