每週問題 December 24, 2012

這是最小平方近似函數練習問題。

Let C[0,1] be the continuous functions on the interval [0,1] with the inner product defined by

\left\langle f,g\right\rangle=\displaystyle\int_0^1f(x)g(x)dx.

Find the closest straight line to f(x)=x^2 over 0\le x\le 1.

 
參考解答:

\mathbf{p}=x^2\mathbf{v}_1 = 1\mathbf{v}_2 = x,最近似直線 g(x) = c_1 + c_2x 滿足下列正規方程式 (normal equation):

\begin{aligned}  \left\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{p} - c_1\mathbf{v}_1 - c_2\mathbf{v}_2\right\rangle &= 0\\  \left\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{p}- c_1\mathbf{v}_1 - c_2\mathbf{v}_2\right\rangle &= 0.\end{aligned}

將上面兩式展開整理成矩陣方程,如下:

\begin{bmatrix}  \left\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1\right\rangle & \left\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\right\rangle\\  \left\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1\right\rangle & \left\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2\right\rangle  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_1\\  c_2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \left\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{p}\right\rangle \\  \left\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{p}\right\rangle   \end{bmatrix}

計算可得

\begin{bmatrix}  1&\frac{1}{2}\\[0.3em]  \frac{1}{2}&\frac{1}{3}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_1\\  c_2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \frac{1}{3}\\[0.3em]  \frac{1}{4}  \end{bmatrix}

解出 c_1 = -\frac{1}{6}c_2 = 1,故最近似直線是 g(x) = x -\frac{1}{6}

PowSol-Dec-24-12

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