Hilbert 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級

Hilbert 矩陣 (因數學家希爾伯特 David Hilbert 得名) H=[h_{ij}] 是一 n\times n 階矩陣,其中 h_{ij}=(i+j-1)^{-1}i,j=1,\ldots,n。明顯地,Hilbert 矩陣 H 的所有 k\times k (1\le k\le n) 階領先主子陣 (principal submatrix) H_k 都是 Hilbert 矩陣。下面是 5\times 5 階的例子:

\displaystyle  H_5=\begin{bmatrix}  1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\\[0.3em]  \frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\\[0.3em]  \frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{7}\\[0.3em]  \frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{7}&\frac{1}{8}\\[0.3em]  \frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{7}&\frac{1}{8}&\frac{1}{9}  \end{bmatrix}

Hilbert 矩陣是可逆矩陣,且逆元 (H^{-1})_{ij} 皆為整數。Hilbert 矩陣的逆元有許多不同的表達式,下面可能是最簡明的一個公式:

\displaystyle  (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1)\binom{n+i-1}{n-j}\binom{n+j-1}{n-i}\binom{i+j-2}{i-1}^2

n=5,逆 Hilbert 矩陣是

H_5^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrrrr}  25 &-300 &1050 &-1400 &630\\  -300& 4800& -18900 &26880 &-12600\\  1050 &-18900 &79380 &-117600 &56700\\  -1400 &26880 &-117600 &179200 &-88200\\  630 &-12600 &56700 &-88200 &44100  \end{array}\!\!\right]

Hilbert 矩陣是一種特殊的 Cauchy 矩陣,本文利用已知的 Cauchy 矩陣逆矩陣公式來推導 Hilbert 矩陣的逆矩陣。

 
C=[c_{ij}] 為一 n\times n 階 Cauchy 矩陣,其中 c_{ij}=(a_i+b_j)^{-1}a_i+b_j\neq 0。設 a_i=ib_j=j-1,套用 Cauchy 矩陣的逆元公式 (見“利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣”):

\displaystyle  (C^{-1})_{ij}={\prod_{1\le p\le n}(a_j+b_p)(a_p+b_i)}\bigg/{(a_j+b_i)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(a_j-a_p)\right)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq i}(b_i-b_p)\right)}

可得

\displaystyle\begin{aligned}  (H^{-1})_{ij}&={\prod_{1\le p\le n}(j+p-1)(p+i-1)}\bigg/{(j+i-1)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(j-p)\right)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq i}(i-p)\right)}\\  &={\prod_{1\le p\le n}(i+p-1)(j+p-1)}\bigg/{(i+j-1)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq i}(p-i)\right)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(p-j)\right)}.  \end{aligned}

將上式分子改寫為

\displaystyle  \prod_{1\le p\le n}(i+p-1)(j+p-1)={(i+n-1)!(j+n-1)!}\bigg/{(i-1)!(j-1)!}

除了 (i+j-1),分母可表示成

\displaystyle  \left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq i}(p-i)\right)\left(\prod_{1\le p\le n\atop p\neq j}(p-j)\right)  =(-1)^{i+j}(i-1)!(n-i)!(j-1)!(n-j)!

所以,Hilbert 矩陣的逆元階乘公式如下:

\displaystyle  (H^{-1})_{ij}=\frac{(-1)^{i+j}(i+n-1)!(j+n-1)!}{(i+j-1)(i-1)!^2(n-i)!(j-1)!^2(n-j)!}

 
接著我們推導 Hilbert 矩陣的逆元二項式係數表達式。使用二項式係數

\displaystyle  \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{n-k}

乘法公式

\displaystyle \begin{aligned}  \binom{n}{m}\binom{m}{k}&=\frac{n!m!}{m!(n-m)!k!(m-k)!}\\  &=\frac{n!(n-k)!}{k!(n-k)!(m-k)!(n-m)!}\\  &=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k},\end{aligned}

以及進出公式

\displaystyle  \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)!}{k(k-1)!(n-k)!}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}

逆元可改寫如下:

\displaystyle \begin{aligned}  (H^{-1})_{ij}&=\frac{(-1)^{i+j}ij}{i+j-1}\frac{(i+n-1)!}{(i-1)!n!}\frac{n!}{j!(n-j)!}\frac{(j+n-1)!}{(j-1)!n!}\frac{n!}{i!(n-i)!}\\  &=\frac{(-1)^{i+j}ij}{i+j-1}\binom{i+n-1}{n}\binom{n}{n-j}\binom{j+n-1}{n}\binom{n}{n-i}\\  &=\frac{(-1)^{i+j}ij}{i+j-1}\binom{i+n-1}{n-j}\binom{i+j-1}{j}\binom{j+n-1}{n-i}\binom{i+j-1}{i}\\  &=\frac{(-1)^{i+j}ij}{i+j-1}\binom{i+n-1}{n-j}\frac{i+j-1}{j}\binom{i+j-2}{j-1}\binom{j+n-1}{n-i}\frac{i+j-1}{i}\binom{i+j-2}{i-1}\\  &=(-1)^{i+j}(i+j-1)\binom{n+i-1}{n-j}\binom{n+j-1}{n-i}\binom{i+j-2}{i-1}^2.  \end{aligned}

 
倘若我們未能認知 Hilbert 矩陣是 Cauchy 矩陣的一個特例,那麼求解 Hilbert 矩陣的逆矩陣將會是非常困難的工作。一般性問題竟比特殊性問題還要容易解決,這一點恐怕出乎讀者的意料之外。Hilbert 矩陣是一個典型的病態矩陣 (見“病態系統”),意思是逆 Hilbert 矩陣的數值計算難度很高。當 n=5,以 2-範數算出的 Hilbert 矩陣的條件數 (見“條件數”) 約為 4.8\times 10^5,遠大於 1[1]

 
參考來源:
[1] 維基百科:Hilbert 矩陣

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