每週問題 December 31, 2012

本週問題是計算轉置變換的行列式。

Let A be an n\times n real matrix, and T be the linear transformation defined by T(A)=A^T. What is the determinant of T?

 
參考解答:

線性變換 T 的行列式,記為 \det T,就是 T 參考任一組基底 \mathfrak{B} 的表示矩陣 [T]_{\mathfrak{B}} 的行列式。注意,\det T 與所參考的基底無關,原因是行列式具有相似不變性,即 \det (MAM^{-1})=(\det M)(\det A)(\det M^{-1})=\det A。求 \det T 的最直接方法是解出 T 的特徵值。我們從特徵向量著手,分三種情況討論。

(1) 令 D_i=\mathrm{diag}(0,\ldots,1,\ldots,0)i=1,\ldots,n,其中 (i,i) 元等於 1,其餘元等於 0,則 T(D_i)=D_i,特徵值為 1

(2) 令 S_{ij} 為對稱矩陣,i>j,其中 (i,j) 元與 (j,i) 元等於 1,其餘元等於 0,則 T(S_{ij})=S_{ij},特徵值為 1

(3) 令 K_{ij} 為反對稱矩陣,i>j,其中 (i,j) 元等於 1(j,i) 元等於 -1,其餘元等於 0,則 T(K_{ij})=-K_{ij},特徵值為 -1

綜合以上結果可知 Tn(n+1)/2 個特徵值 1n(n-1)/2 個特徵值 -1,故 \det T=(-1)^{n(n-1)/2}

PowSol-Dec-31-12

 
補註:

2\times 2 階矩陣 A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} 為例。考慮標準基底

\mathfrak{B}=\left\{\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix},~\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix},~\begin{bmatrix}  0&0\\  1&0  \end{bmatrix},~\begin{bmatrix}  0&0\\  0&1  \end{bmatrix}\right\}

[A]_\mathfrak{B}=(a,b,c,d)^T,故 T(A)=A^T 的座標向量是

\begin{bmatrix}  T(A)  \end{bmatrix}_\mathfrak{B}=[T]_\mathfrak{B}[A]_\mathfrak{B}=\begin{bmatrix}  1&0&0&0\\  0&0&1&0\\  0&1&0&0\\  0&0&0&1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  a\\  b\\  c\\  d  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  a\\  c\\  b\\  d  \end{bmatrix}=[A^T]_\mathfrak{B}

所以,\det T=\det [T]_\mathfrak{B}=-1

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