## 每週問題 December 31, 2012

Let $A$ be an $n\times n$ real matrix, and $T$ be the linear transformation defined by $T(A)=A^T$. What is the determinant of $T$?

(1) 令 $D_i=\mathrm{diag}(0,\ldots,1,\ldots,0)$$i=1,\ldots,n$，其中 $(i,i)$ 元等於 $1$，其餘元等於 $0$，則 $T(D_i)=D_i$，特徵值為 $1$

(2) 令 $S_{ij}$ 為對稱矩陣，$i>j$，其中 $(i,j)$ 元與 $(j,i)$ 元等於 $1$，其餘元等於 $0$，則 $T(S_{ij})=S_{ij}$，特徵值為 $1$

(3) 令 $K_{ij}$ 為反對稱矩陣，$i>j$，其中 $(i,j)$ 元等於 $1$$(j,i)$ 元等於 $-1$，其餘元等於 $0$，則 $T(K_{ij})=-K_{ij}$，特徵值為 $-1$

PowSol-Dec-31-12

$2\times 2$ 階矩陣 $A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}$ 為例。考慮標準基底

$\mathfrak{B}=\left\{\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix},~\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix},~\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix},~\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\right\}$

$[A]_\mathfrak{B}=(a,b,c,d)^T$，故 $T(A)=A^T$ 的座標向量是

$\begin{bmatrix} T(A) \end{bmatrix}_\mathfrak{B}=[T]_\mathfrak{B}[A]_\mathfrak{B}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a\\ c\\ b\\ d \end{bmatrix}=[A^T]_\mathfrak{B}$

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