限定算子的特徵值與特徵向量 (下)

本文的閱讀等級:中級

\mathcal{V} 是一有限維向量空間,\dim\mathcal{V}=nT:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 是一線性變換,T_{/\mathcal{X}}:\mathcal{X}\to\mathcal{X} 是定義於不變子空間 \mathcal{X}\subseteq\mathcal{V} 的一個限定算子。上文“限定算子的特徵值與特徵向量 (上)”介紹了限定算子 T_{/\mathcal{X}} 的特徵值和特徵向量,及座標變換和相似變換。本文討論限定算子的特徵多項式和最小多項式,並證明以下三個命題:

  1. 限定算子 T_{/\mathcal{X}} 的特徵多項式整除線性變換 T 的特徵多項式。
  2. 限定算子 T_{/\mathcal{X}} 的最小多項式整除線性變換 T 的最小多項式。
  3. 若限定算子 T_{/\mathcal{X}} 不可對角化,則線性變換 T 也不可對角化。換句話說,若 T 可對角化,則 T_{/\mathcal{X}} 也可對角化。

 
類似定義於向量空間 \mathcal{V} 的一般線性變換 T,限定於不變子空間 \mathcal{X} 的限定算子 T_{/\mathcal{X}} 也有定義良好的特徵多項式和最小多項式。令 \mathfrak{B}_\mathcal{X}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 是不變子空間 \mathcal{X} 的一組基底,且

T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{v}_j)=a_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+a_{kj}\mathbf{v}_k,~~j=1,\ldots,k

上文說明 A=[a_{ij}]T_{/\mathcal{X}} 參考 \mathfrak{B}_\mathcal{X}k\times k 階表示矩陣,即 A=[T_{/\mathcal{X}}]_{\mathfrak{B}_\mathcal{X}},且限定算子 T_{/\mathcal{X}} 的特徵多項式就是矩陣 A 的特徵多項式:

p_{T_{/\mathcal{X}}}(t)=p_A(t)=\det(A-tI)

下面證明 (1) 限定算子 T_{/\mathcal{X}} 的特徵多項式整除 T 的特徵多項式。將不變子空間 \mathcal{X} 的基底 \mathfrak{B}_\mathcal{X}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 擴充成向量空間 \mathcal{V} 的基底 \mathfrak{B}_\mathcal{V}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k,\mathbf{v}_{k+1},\ldots,\mathbf{v}_n\},則 T 參考 \mathfrak{B}_\mathcal{V}n\times n 階表示矩陣具有分塊上三角形式 (見“不變子空間──解構線性算子的利器”):

\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}_\mathcal{V}}=\begin{bmatrix}  A&B\\  0&C  \end{bmatrix}

其中 C(n-k)\times(n-k) 階矩陣。線性變換 T 的特徵多項式 p_T(t) 等於 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}_\mathcal{V}} 的特徵多項式。利用行列式性質,

\begin{aligned}  p_T(t)&=\det\left([T]_{\mathfrak{B}_\mathcal{V}}-tI\right)=\begin{vmatrix}  A-tI&B\\  0&C-tI  \end{vmatrix}\\  &=\det(A-tI)\det(C-tI)=p_{T_{/\mathcal{X}}}(t)\det(C-tI),\end{aligned}

因此證得所求。

 
Cayley-Hamilton 定理說 p_T(T)=0,這裡 0 表示零線性變換,即對於所有 \mathbf{v}\in\mathcal{V}0(\mathbf{v})=\mathbf{0}。因為 p_A(A)=0p_{T_{/\mathcal{X}}}(t)=p_A(t),對於 \mathbf{x}\in\mathcal{X},可推論

\begin{aligned}  \begin{bmatrix}  p_{T_{/\mathcal{X}}}(T_{/\mathcal{X}})\mathbf{x}  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}_\mathcal{X}}&=\begin{bmatrix}  p_A(T_{/\mathcal{X}})  \end{bmatrix}_{\mathfrak{B}_\mathcal{X}}[\mathbf{x}]_{\mathfrak{B}_\mathcal{X}}  =p_A\left([T_{/\mathcal{X}}]_{\mathfrak{B}_\mathcal{X}}\right)[\mathbf{x}]_{\mathfrak{B}_\mathcal{X}}\\  &=p_A(A)[\mathbf{x}]_{\mathfrak{B}_\mathcal{X}}=0([\mathbf{x}]_{\mathfrak{B}_\mathcal{X}})=\mathbf{0}.\end{aligned}

上式指出每一 \mathbf{x}\in\mathcal{X} 均有 p_{T_{/\mathcal{X}}}(T_{/\mathcal{X}})\mathbf{x}=\mathbf{0},換句話說,p_{T_{/\mathcal{X}}}(T_{/\mathcal{X}}) 消滅不變子空間 \mathcal{X}。以上文的例子來說,p_{T_{/\mathcal{X}}}(t)=t^2+t-2,不難驗證

(T^2_{/\mathcal{X}}+T_{/\mathcal{X}}-2I)\mathbf{x}=T^2_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x})+T_{/\mathcal{X}}(\mathbf{x})-2I(\mathbf{x})=\mathbf{0}

其中 \mathbf{x}\in\mathcal{X}=\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\},而 \mathbf{v}_1=(1,0,-1)^T\mathbf{v}_2=(2,2,-3)^T

 
m_T(t)=a_ht^h+\cdots+a_1t+a_0 表示 T 的最小多項式,h\le n。因為 m_T(T)=0,對於 \mathbf{v}\in\mathcal{V},即有 m_T(T)\mathbf{v}=\mathbf{0}。令 m_{T_{/\mathcal{X}}}(t)=b_st^s+\cdots+b_1t+b_0s\le k,是最小次數的多項式使得每一 \mathbf{x}\in\mathcal{X}

m_{T_{/\mathcal{X}}}(T_{/\mathcal{X}})\mathbf{x}=(b_sT_{/\mathcal{X}}^s+\cdots+b_1T_{/\mathcal{X}}+b_0I)\mathbf{x}=\mathbf{0}

我們說 m_{T_{/\mathcal{X}}}(t) 是限定算子 T_{/\mathcal{X}} 的最小多項式,它是消滅不變子空間 \mathcal{X} 的最小次數首一多項式 (見“最小多項式的計算方法”)。下面證明 (2) T_{/\mathcal{X}} 的最小多項式整除 T 的最小多項式。因為 \mathcal{X}\subseteq\mathcal{V},可知 s\le h,即 \deg[m_{T_{/\mathcal{X}}}(t)]\le\deg[m_T(t)],其中 \deg 表示多項式的次數。所以,存在多項式 q(t)r(t),使得 m_T(t)=q(t)m_{T_{/\mathcal{X}}}(t)+r(t),其中 \deg[r(t)]<\deg[m_{T_{/\mathcal{X}}}(t)]。然而,對於 \mathbf{x}\in\mathcal{X}

\mathbf{0}=m_T(T_{/\mathcal{X}})\mathbf{x}=q(T_{/\mathcal{X}})m_{T_{/\mathcal{X}}}(T_{/\mathcal{X}})\mathbf{x}+r(T_{/\mathcal{X}})\mathbf{x}=r(T_{/\mathcal{X}})\mathbf{x}

上式表明 r(t)=0,否則 r(t) 的次數小於 T_{/\mathcal{X}} 的最小多項式 m_{T_{/\mathcal{X}}}(t),這與假設矛盾,故證明 m_T(t)=q(t)m_{T_{/\mathcal{X}}}(t)

 
最後證明 (3) 若 T_{/\mathcal{X}} 不可對角化,則 T 也不可對角化。設 T 可對角化,則 T 的所有相異特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_m 的指標皆等於1,最小多項式 m_T(t) 不包含重複因式 (見“最小多項式 (下)”),即 m_T(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_m)。由 (2),m_{T_{/\mathcal{X}}}(t) 整除 m_T(t),可知 T_{/\mathcal{X}} 的最小多項式 m_{T_{/\mathcal{X}}}(t) 必不包含重複因式,證明限定算子 T_{/\mathcal{X}} 也可對角化。

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