答CCWang──關於從矩陣的特徵多項式計算行列式

網友CCWang留言:

周老師您好:關於考題+解答 P.103 清大資訊95(a)小題,老師解答為 5,但由網路上計算機求得其特徵值乘積,所得之行列式值為 -5,應該是一開始求特徵多項式未定義 \det(A-kI)\det(kI-A),造成最後求行列式值不同的原因吧?感謝老師撥冗回答。

 
答曰:

原問題抄寫於下:Find \det(A) given that A has p(\lambda) as its characteristic polynomial.
(a) p(\lambda) = \lambda^3-2\lambda^2+\lambda+5

 
A 為一 n\times n 階矩陣,A 的特徵多項式定義為

p_1(\lambda)=\det(A-\lambda I)

p_2(\lambda)=\det(\lambda I-A)

利用行列式性質,可知 p_1(\lambda)=(-1)^np_2(\lambda)。這兩種定義皆有人採用。第一式 p_1(\lambda) 不改變 A 的符號,便於抄寫計算;第二式 p_2(\lambda) 確保特徵多項式的領先係數等於 1,稱為首一多項式 (monic polynomial)。欲從特徵多項式求出行列式,代入 \lambda=0,立得 p_1(0)=\det Ap_2(0)=\det(-A)=(-1)^n(\det A)。這裡正是容易混淆出錯的地方。問題給定了一個 3 次特徵多項式 p(\lambda),故 A 是一 3\times 3 階矩陣。又 \lambda^3 的係數等於 1,表明特徵多項式採用定義 p_2(\lambda)=\det(\lambda I-A)。所以,p(0)=5=(-1)^3(\det A),也就得到 \det A=-5

 
另外,設特徵多項式可分解為

p(\lambda)=\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+5=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)

其中 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3A 的三個特徵值。因為行列式等於特徵值乘積 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”),乘開上式,比較常數項即得 \det A=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=-5。教學光碟提供的解答忽略了上述兩種定義的差異,也沒有考慮矩陣階數 n 的奇偶性,故而給出錯誤的答案。感謝你的細心指正。

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