## 不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (下)

$A=\left[\!\!\begin{array}{rrrr} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&10&11&12\\ 13&14&15&16 \end{array}\!\!\right]$

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},~~A\mathbf{v}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 5\\ 9\\ 13 \end{array}\!\!\right],~~A^2\mathbf{v}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 90\\ 202\\ 314\\ 426 \end{array}\!\!\right],~~A^3\mathbf{v}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 3140\\ 7268\\ 11396\\ 15524 \end{array}\!\!\right]$

$\mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -2\\ 1\\ 0 \end{array}\!\!\right],~~\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -2\\ 1 \end{array}\!\!\right]$

$\mathbf{v}_3=\left[\!\!\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array}\!\!\right],~~A\mathbf{v}_3=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{array}\!\!\right],~~A^2\mathbf{v}_3=\left[\!\!\begin{array}{r} 10\\ 26\\ 42\\ 58 \end{array}\!\!\right]$

$\mathbf{v}_4=A\mathbf{v}_3$，計算可得 $A^2\mathbf{v}_3=56\mathbf{v}_1+24\mathbf{v}_2+80\mathbf{v}_3+34\mathbf{v}_4$。將以上結果整理成下表：

$\begin{array}{rrrrcrcrcrcc} &A&&&\vline&\mathbf{v}_1 & \vline&\mathbf{v}_2 &\vline&\mathbf{v}_3&\mathbf{v}_4&A^2\mathbf{v}_3\\ \hline 1&2&3&4&\vline&1&\vline &0&\vline & -1 &1&10\\ 5&6&7&8&\vline&-2&\vline& 1 &\vline &1 &1&26\\ 9&10&11&12&\vline&1&\vline&-2 &\vline&0&1&42\\ 13&14&15&16&\vline&0&\vline&1&\vline &0 &1&58\\ \hline &&&&\vline&56&&24& &80 & 34 & \\ \hline \end{array}$

$F=\left[\!\!\begin{array}{rcrcrr} 0&\vline&0&&0&56\\ \cline{1-3} 0&\vline&0&\vline&0&24\\ \cline{3-6} 0&&0&\vline&0&80\\ 0&&0&\vline&1&34 \end{array}\!\!\right]$

$\begin{array}{cccccr} &&E&&&E\mathbf{v}_1\\ \hline 1&0&0&0&\vline&1\\ 0&1&0&0&\vline&-2\\ 0&0&1&0&\vline&1\\ 0&0&0&1&\vline&0 \\ \hline \end{array}\to \begin{array}{rccccc} &&E&&&E\mathbf{v}_1\\ \hline 1&0&0&0&\vline&1\\ 2&1&0&0&\vline&0\\ -1&0&1&0&\vline&0\\ 0&0&0&1&\vline&0 \\ \hline \end{array}$

$\to\begin{array}{rcccccr} &&E&&&E\mathbf{v}_1&E\mathbf{v}_2\\ \hline 1&0&0&0&\vline&1&0\\ 2&1&0&0&\vline&0&1\\ -1&0&1&0&\vline&0&-2\\ 0&0&0&1&\vline&0&1 \\ \hline \end{array}\to \begin{array}{rrccccc} &&E&&&E\mathbf{v}_1&E\mathbf{v}_2\\ \hline 1&0&0&0&\vline&1&0\\ 2&1&0&0&\vline&0&1\\ 3&2&1&0&\vline&0&0\\ -2&-1&0&1&\vline&0&0\\ \hline \end{array}$

$\to\begin{array}{rrcccccr} &&E&&&E\mathbf{v}_1&E\mathbf{v}_2&E\mathbf{v}_3\\ \hline 1&0&0&0&\vline&1&0&-1\\ 2&1&0&0&\vline&0&1 &-1\\ 3&2&1&0&\vline&0&0&-1\\ -2&-1&0&1&\vline&0&0&1\\ \hline \end{array}\to \begin{array}{rrrccccc} &&E&&&E\mathbf{v}_1&E\mathbf{v}_2&E\mathbf{v}_3\\ \hline -2&-2&-1&0&\vline&1&0&0\\ -1&-1&-1&0&\vline&0&1 &0\\ -3&-2&-1&0&\vline&0&0&1\\ 1&1&1&1&\vline&0&0&0\\ \hline \end{array}$

$\to\begin{array}{rrrcccccr} &&E&&&E\mathbf{v}_1&E\mathbf{v}_2&E\mathbf{v}_3&EA\mathbf{v}_3\\ \hline -2&-2&-1&0&\vline&1&0&0&-5\\ -1&-1&-1&0&\vline&0&1 &0&-3\\ -3&-2&-1&0&\vline&0&0&1&-6\\ 1&1&1&1&\vline&0&0&0&4\\ \hline \end{array}$

$\to \begin{array}{rrrrccccc} &&E&&&E\mathbf{v}_1&E\mathbf{v}_2&E\mathbf{v}_3&EA\mathbf{v}_3\\ \hline -\frac{3}{4}&-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&\frac{5}{4}&\vline&1&0&0&0\\[0.3em] -\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&\vline&0&1 &0&0\\[0.3em] -\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\vline&0&0&1&0\\[0.3em] \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\vline&0&0&0&1\\ \hline \end{array}$

$\to \begin{array}{rrrrcccccc} &&E&&&E\mathbf{v}_1&E\mathbf{v}_2&E\mathbf{v}_3&E\mathbf{v}_4 &EA^2\mathbf{v}_3\\ \hline -\frac{3}{4}&-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&\frac{5}{4}&\vline&1&0&0&0&56\\[0.3em] -\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&\vline&0&1 &0&0&24\\[0.3em] -\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\vline&0&0&1&0&80\\[0.3em] \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\vline&0&0&0&1&34\\ \hline \end{array}$

$p_{A_{/\mathcal{X}_i}}(A)\mathbf{x}=p_1(A)\cdots p_i(A)\mathbf{x}=\mathbf{0}$

$p_1(A)\mathbf{x}=A\mathbf{x}=\mathbf{0}$

$p_1(A)p_2(A)\mathbf{x}=A^2\mathbf{x}=A(A\mathbf{x})=\mathbf{0}$

$p_1(A)p_2(A)p_3(A)\mathbf{x}=A^2(A^2-34A-80)\mathbf{x} =(A-\lambda_3I)(A-\lambda_4I)A^2\mathbf{x}=\mathbf{0}$

$A=\left[\!\!\begin{array}{cccc} 0&0&\vline&0\\ 1&0&\vline&1\\ \hline 0&0&\vline&0 \end{array}\!\!\right]$

[1] William A. McWorter, Jr., An algorithm for the characteristic polynomial, Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 3, 1983, pp 168-175.

This entry was posted in 特徵分析, 線性代數專欄 and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.