每週問題 January 14, 2013

這是利用反對稱矩陣 (skew-symmetric) 特徵值性質於行列式的證明問題。

Let A be an n\times n real matrix. If A+A^T=I, show that \det A>0.

 
參考解答:

任一矩陣 A 可分解為

A=\displaystyle\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}

其中 A+A^T 是實對稱矩陣,A-A^T 是反對稱矩陣。令 K=A-A^T,代入已知條件,可得 A=(I+K)/2。令 \lambda_j\mu_jj=1,\ldots,n,分別表示 AK 的特徵值,則對於每一 j\lambda_j=(1+\mu_j)/2。因為反對稱矩陣的特徵值必為零或共軛虛數,設 \mu_{2k-1}=ib_k\mu_{2k}=-ib_k,其中 b_k 是實數,i=\sqrt{-1}k=1,\ldots,m,且 \mu_k = 02m+1\le k \le n,故知

\displaystyle\begin{aligned}  \det A&=\prod_{j=1}^n\lambda_j= \frac{1}{2^n}\prod_{j=1}^n(1+\mu_j)\\  &=\frac{1}{2^n}\prod_{k=1}^m(1+ib_k)(1-ib_k)\\  &=\frac{1}{2^n}\prod_{k=1}^m(1+b_k^2)>0.\end{aligned}

PowSol-Jan-14-13

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