每週問題 January 21, 2013

這是關於正定矩陣的判定問題。

Give an example of a real matrix all of whose determinants of principal submatrices and eigenvalues are positive, the matrix, however, is not positive definite.

 
參考解答:

表面上看,這樣的矩陣似乎不存在。關鍵在於當 A 不是實對稱矩陣時,很容易找到符合題意的矩陣,如

A=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-4\\  0&1  \end{array}\!\!\right]

此例,A 有相重特徵值 1, 1,領先主子陣的行列式為 \det A_1=\begin{vmatrix}  1  \end{vmatrix}=1\det A_2=\left|\!\!\begin{array}{cr}  1&-4\\  0&1  \end{array}\!\!\right|=1。然而,A 不是正定矩陣,因為當 \mathbf{x}=(1,1)^T,可得 \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=-2<0。事實上,A 是未定矩陣,理由如下。將 A 分解為 A=B+C,其中對稱部分 B=(A+A^T)/2,反對稱部分 C=(A-A^T)/2。因為任意 \mathbf{x} 都有 \mathbf{x}^TC\mathbf{x}=0,可知 \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=\mathbf{x}^TB\mathbf{x},但

\displaystyle  B=\frac{A+A^T}{2}=\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&-2\\  -2&1  \end{array}\!\!\right]

有特徵值 3, -1,說明 AB 都是未定矩陣。

PowSol-Jan-21-13

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