## 每週問題 January 28, 2013

Let $A$ be an $m\times n$ matrix and $B$ be an $n\times m$ matrix. Prove Sylvester’s determinant theorem, i.e.,

$\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA).$

$\begin{bmatrix} I_m&A\\ -B&I_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_m&A\\ 0&I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_m+AB&0\\ 0&I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_m&0\\ -B&I_n \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} I_m&A\\ -B&I_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_m&0\\ -B&I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_m&0\\ 0&I_n+BA \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_m&A\\ 0&I_n \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix} I_m+AB&0\\ 0&I_n \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} I_m&0\\ 0&I_n+BA \end{vmatrix}$

$\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA)$，故證得所求。另外，我們也可以用特徵值來證明。乘積 $AB$$BA$ 有相同的非零特徵值集合，設為 $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ (包含重複特徵值)，則 $I_m+AB$ 有特徵值 $1+\lambda_1,\ldots,1+\lambda_k,1,\ldots,1$，其中特徵值 1 的相重數是 $m-k$，且 $I_n+BA$ 有特徵值 $1+\lambda_1,\ldots,1+\lambda_k,1,\ldots,1$，其中特徵值 1 的相重數是 $n-k$，故 $\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA)=\prod_{i=1}^k(1+\lambda_i)$

PowSol-Jan-28-13