每週問題 January 28, 2013

本週問題是證明 Sylvester 行列式定理。

Let A be an m\times n matrix and B be an n\times m matrix. Prove Sylvester’s determinant theorem, i.e.,

\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA).

 
參考解答:

考慮

\begin{bmatrix}  I_m&A\\  -B&I_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I_m&A\\  0&I_n  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I_m+AB&0\\  0&I_n  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I_m&0\\  -B&I_n  \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}  I_m&A\\  -B&I_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I_m&0\\  -B&I_n  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I_m&0\\  0&I_n+BA  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I_m&A\\  0&I_n  \end{bmatrix}

因為分塊三角矩陣的行列式等於主對角分塊行列式乘積,可得

\begin{vmatrix}  I_m+AB&0\\  0&I_n  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  I_m&0\\  0&I_n+BA  \end{vmatrix}

\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA),故證得所求。另外,我們也可以用特徵值來證明。乘積 ABBA 有相同的非零特徵值集合,設為 \lambda_1,\ldots,\lambda_k (包含重複特徵值),則 I_m+AB 有特徵值 1+\lambda_1,\ldots,1+\lambda_k,1,\ldots,1,其中特徵值 1 的相重數是 m-k,且 I_n+BA 有特徵值 1+\lambda_1,\ldots,1+\lambda_k,1,\ldots,1,其中特徵值 1 的相重數是 n-k,故 \det(I_m+AB)=\det(I_n+BA)=\prod_{i=1}^k(1+\lambda_i)

PowSol-Jan-28-13

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