每週問題 February 11, 2013

這是從實對稱矩陣的行列式判斷二次型問題。

Let A be an n\times n real symmetric matrix. If \det A<0, show that \mathbf{x}^TA\mathbf{x}<0 for some \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n.

 
參考解答:

實對稱矩陣 A 的特徵值 \lambda_,\ldots,\lambda_n 皆為實數。若 \det A=\lambda_1\cdots\lambda_n<0,可知至少有一 \lambda_j<0。設 A\mathbf{x}_j=\lambda_j\mathbf{x}_j,其中 \mathbf{x}_j 是非零實特徵向量,就有 \mathbf{x}_j^TA\mathbf{x}_j=\lambda_j\mathbf{x}_j^T\mathbf{x}_j<0

PowSol-Feb-11-13

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