每週問題 February 25, 2013

這是關於半正定矩陣的判別法。

Let $A$ be an $n\times n$ real symmetric matrix. Show that $A$ is positive semidefinite if and only if $X^TAX$ is positive semidefinite for all $n\times m$ real matrix $X$ .

參考解答：

首先證明 $X^TAX$ 是一 $m\times m$ 階實對稱矩陣： $(X^TAX)^T=X^TA^TX=X^TAX$ 。對於任一 $n$ 維實向量 $\mathbf{x}$ ，若 $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\ge 0$ ，則對於所有 $m$ 維實向量 $\mathbf{y}$ ，

$\mathbf{y}^T(X^TAX)\mathbf{y}=(X\mathbf{y})^TA(X\mathbf{y})\ge 0$ ，

因此證明 $X^TAX$ 是半正定。相反的，假設對於所有 $n\times m$ 階實矩陣 $X$ ， $X^TAX$ 是半正定。令

$X=\begin{bmatrix} \mathbf{x}&\mathbf{0}&\cdots&\mathbf{0} \end{bmatrix}$ ，

其中 $\mathbf{x}$ 是任一 $n$ 維實向量，則

$X^TAX=\begin{bmatrix} \mathbf{x}^T\\ \mathbf{0}^T\\ \vdots\\ \mathbf{0}^T \end{bmatrix}A\begin{bmatrix} \mathbf{x}&\mathbf{0}&\cdots&\mathbf{0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{x}^TA\mathbf{x}&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \end{bmatrix}$ 。

上式說明 $X^TAX$ 有特徵值 $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ ，以及 $m-1$ 個零特徵值，故可推論 $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\ge 0$ 。

PowSol-Feb-25-13

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