答andy6829──關於實矩陣的列空間是零空間的正交補餘

網友andy6829留言:

周老師您好,我最近從一本書籍 (有關錯誤更正碼的線性區塊碼) 看到作者對某個向量空間的敘述,但我左想右想還是不知道作者想表達的意思是什麼,可以請問老師下列的敘述代表著什麼意思呢?

對任何一個由 k 個線性獨立的列向量所組成的 k\times n 矩陣 G,均存在一個由 (n-k) 個線性獨立的列向量組成的 (n-k)\times n 矩陣 H (為甚麼?),使得 G 的列空間的任意向量與 H 的列向量正交,並且任何與 H 的列向量正交的向量都在 G 的列空間中 (為甚麼?):G 的列空間等於 H 的零空間。

我看過您所發表的〈行空間與零空間的互換表達〉,感覺好像和我所要問的問題很類似,但我還是百思不得其解,可以請老師給我一些提示 (hint),好使我了解其中的意義嗎?謝謝周老師的幫忙。

 
答曰:

這段論述是線性代數的一個重要定理,它說明了矩陣的基本子空間之間的正交補餘關係 (見“線性代數基本定理 (二)”)。所謂正交補餘是指向量空間 \mathcal{V} 中兩個子空間 \mathcal{X}\mathcal{Y} 滿足 \mathcal{X}\perp\mathcal{Y}\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{Y}=\dim\mathcal{V},記為 \mathcal{X}=\mathcal{Y}^{\perp}\mathcal{Y}=\mathcal{X}^{\perp} (見“正交補餘與投影定理”)。令 A 為一 m\times n 階實矩陣。列空間 C(A^T) 和零空間 N(A)\mathbb{R}^n 的子空間,而行空間 C(A) 和左零空間 N(A^T)\mathbb{R}^m 的子空間。實矩陣 A 的列空間是零空間的正交補餘,表示如下:

C(A^T)=N(A)^{\perp}N(A)=C(A^T)^{\perp}

對矩陣取轉置,可知任一實矩陣的行空間是左零空間的正交補餘:

C(A)=N(A^T)^{\perp}N(A^T)=C(A)^{\perp}

如欲推廣上述性質至複矩陣,只要將轉置運算 (\cdot)^T 以共軛轉置 (\cdot)^{\ast} 取代即可。不過,C(A^{\ast}) 不能稱為 A 的列空間,正確的說法是 A^{\ast} 的行空間。

 
下面給出詳細證明。令 G 為一 k\times n 階實矩陣,且 G 的列向量構成 \mathbb{R}^n 中一線性獨立向量集。因為 \mathbb{R}^n 至多僅容納包含 n 個向量的線性獨立集,故可推斷 k\le n。對於任一 \mathbf{x}\in N(G)G\mathbf{x}=\mathbf{0},就有

\mathbf{x}^T(G^T\mathbf{y})=(G\mathbf{x})^T\mathbf{y}=\mathbf{0}^T\mathbf{y}=0

可知 \mathbf{x}\perp G^T\mathbf{y}。因為 \mathbf{y} 是任意向量,故推論 N(G)\perp C(G^T)。此外,矩陣的行秩等於列秩 (見“行秩=列秩”),也就是說,矩陣秩等於行空間維數,也等於列空間維數,即 \mathrm{rank}G=\dim C(G)=\dim C(G^T)=k。利用秩─零度定理 (見“線性代數基本定理 (一)”),\mathrm{rank}G+\dim N(G)=n,可得 \dim C(G^T)+\dim N(G)=n。合併以上結果,即證明 C(G^T)=N(G)^{\perp}。令 H 為一 (n-k)\times n 階實矩陣,且 H 的列向量由 G 的零空間 N(G) 的基底所構成 (因為 \dim N(G)=n-k)。因此,H 的列向量組成一線性獨立集,H 的列空間即為 G 的零空間,C(H^T)=N(G)。使用正交補餘性質,C(H^T)=N(H)^{\perp}N(G)=C(G^T)^{\perp},可得 N(H)^{\perp}=C(G^T)^{\perp}。所以,N(H)=C(G^T),證明 H 的零空間等於 G 的列空間。因為列空間 C(G^T) 中任一向量 G^T\mathbf{z} 滿足 HG^T\mathbf{z}=0,故可推論 HG^T=0,取轉置即得 GH^T=0

 
下面舉一例說明:考慮 3\times 5 階矩陣

G=\left[\!\!\begin{array}{ccccc} 1&1&1&1&1\\ 1&2&3&4&5\\ 1&1&1&2&2 \end{array}\!\!\right]

G 執行基本列運算,化簡至簡約列梯形式:

R=\left[\!\!\begin{array}{ccrcr} 1&0&-1&0&-1\\ 0&1&2&0&1\\ 0&0&0&1&1 \end{array}\!\!\right]

可知 G 的 3 個列向量組成一線性獨立集 (因為 R 有 3 個軸列)。根據 R 的型態立刻得到 2\times 5 階零空間矩陣 (nullspace matrix,見“行空間與零空間的互換表達”)

H=\left[\!\!\begin{array}{crcrc} 1&-2&1&0&0\\ 1&-1&0&-1&1 \end{array}\!\!\right]

使得 N(G)=C(H^T)。利用正交補餘性質,即有 C(G^T)=N(H)G 的列空間等於 H 的零空間。

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1 則回應給 答andy6829──關於實矩陣的列空間是零空間的正交補餘

  1. andy6829 說:

    遲來的感謝~謝謝周老師指點迷津。:)

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