轉置與共軛轉置

本文的閱讀等級：初級

矩陣具有加法與純量乘法運算。除了這兩個源自純量算術的運算，矩陣還有一個獨特的運算，稱為轉置 (transpose)。令 $A=[a_{ij}]$ 為 $m\times n$ 階矩陣。我們定義 $A$ 的轉置，記作 $A^T$ ，為一個 $n\times m$ 階矩陣，其中 $(A^T)_{ij}=a_{ji}$ 。換句話說，將 $A$ 的列行對調即得轉置矩陣 $A^T$ ，如下例，

$\begin{bmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{bmatrix}$ 。

明顯地， $(A^T)^T=A$ 。若 $A$ 表示成分塊矩陣，則 $A^T$ 不僅置換列行分塊，每一個分塊也必須隨之轉置，例如，

$\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1&\vline&4\\ 2&\vline&5\\ \hline 3&\vline&6 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1&2&\vline&3\\ \hline 4&5&\vline&6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_{11}^T&A_{21}^T\\ A_{12}^T&A_{22}^T \end{bmatrix}$ 。

一般而言，轉置適用於實矩陣。在許多應用中，複矩陣的轉置常會附加共軛運算，稱為共軛轉置 (conjugate transpose)。複數 $z=a+ib$ 的共軛定義為 $\overline{z}=a-ib$ ，其中 $a,b\in\mathbb{R}$ 且 $i=\sqrt{-1}$ 。類似複數的共軛運算， $A=[a_{ij}]$ 的共軛矩陣為 $\overline{A}=[\overline{a_{ij}}]$ ，共軛轉置則為 $\overline{A}^T=\overline{A^T}$ ，或簡記為 $A^{\ast}$ 。例如，

$\begin{bmatrix} 1+3i&4&i\\ -2i&0&2-i \end{bmatrix}^{\ast}=\begin{bmatrix} 1-3i&2i\\ 4&0\\ -i&2+i \end{bmatrix}$ 。

如同轉置運算，連續兩次共軛轉置不改變矩陣， $(A^{\ast})^{\ast}=A$ 。若 $A$ 是實矩陣，共軛轉置退化成轉置，即 $A^{\ast}=A^T$ 。下面我們討論 (共軛) 轉置與其他矩陣運算的結合，並介紹一些由 (共軛) 轉置所界定的特殊矩陣。

令 $A=[a_{ij}]$ 和 $B=[b_{ij}]$ 為 $m\times n$ 階矩陣， $c$ 為純量 (實數或複數)。矩陣的 (共軛) 轉置是一個線性函數，即下列性質成立：

$(A+B)^T=A^T+B^T,~~(A+B)^{\ast}=A^{\ast}+B^{\ast}$ ，

$(cA)^T=cA^T,~~(cA)^{\ast}=\overline{c}A^{\ast}$ 。

證明於下：對於任一 $i$ 和 $j$ ，

$\left((A+B)^T\right)_{ij}=(A+B)_{ji}=a_{ji}+b_{ji}=(A^T)_{ij}+(B^T)_{ij}=(A^T+B^T)_{ij}$ ，

故 $(A+B)^T=A^T+B^T$ ；類似地，對於任一 $i$ 和 $j$ ，

$\left((cA)^T\right)_{ij}=(cA)_{ji}=ca_{ji}=c(A^T)_{ij}$ ，

故 $(cA)^T=cA^T$ 。共軛轉置的證明只要將 $(\cdot)^T$ 以 $(\ast)^T$ 取代即可。

接著考慮矩陣乘法的轉置。令 $A=[a_{ij}]$ 為 $m\times n$ 階矩陣， $B$ 為 $n\times p$ 階矩陣。兩矩陣之積的轉置與共軛轉置有下列公式：

$(AB)^T=B^TA^T,~~(AB)^{\ast}=B^{\ast}A^{\ast}$ 。

直接計算 $(AB)^T$ 的 $(i,j)$ 元即可證明。下面介紹以「行」或「列」作為矩陣乘法運算單元的證法 (見“矩陣乘法的現代觀點”)。令 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^T$ 為 $n$ 維向量。將 $A$ 以行向量表示為 $A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}$ ，其中 $\mathbf{a}_j$ 是 $m$ 維向量，則

$\begin{aligned} (A\mathbf{x})^T&=\left(x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n\right)^T=x_1\mathbf{a}_1^T+\cdots+x_n\mathbf{a}_n^T\\ &=\begin{bmatrix} x_1&\cdots&x_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T\\ \vdots\\ \mathbf{a}_n^T \end{bmatrix}=\mathbf{x}^TA^T.\end{aligned}$

將 $B$ 以行向量表示， $B=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_p \end{bmatrix}$ ，利用上面結果，可得

$\begin{aligned} (AB)^T&=\left(A\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_p \end{bmatrix}\right)^T=\begin{bmatrix} A\mathbf{b}_1&\cdots&A\mathbf{b}_p \end{bmatrix}^T\\ &=\begin{bmatrix} (A\mathbf{b}_1)^T\\ \vdots\\ (A\mathbf{b}_p)^T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^TA^T\\ \vdots\\ \mathbf{b}_p^TA^T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T\\ \vdots\\ \mathbf{b}_p^T \end{bmatrix}A^T=B^TA^T.\end{aligned}$

同樣地，共軛轉置的證明只要將轉置運算以共軛轉置運算取代即可。

若 $A$ 是一個 $n\times n$ 階可逆矩陣，(共軛) 轉置的逆矩陣等於逆矩陣的 (共軛) 轉置：

$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T,~~(A^{\ast})^{-1}=(A^{-1})^{\ast}$ 。

給定 $AA^{-1}=I$ ，等號兩邊計算轉置，使用矩陣乘積的轉置公式，可得

$(AA^{-1})^T=(A^{-1})^TA^T=I^T=I$ ，

因此證明 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ 。共軛轉置的證明亦同。

某些矩陣的轉置不發生任何改變，譬如，

$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&4&6\\ 3&6&9 \end{bmatrix},~~\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{bmatrix}$ 。

對於 $n\times n$ 階矩陣 $A=[a_{ij}]$ ，若 $A=A^T$ ，即 $a_{ij}=a_{ji}$ ，則 $A$ 稱為對稱矩陣 (symmetric matrix)。若 $A=A^{\ast}$ ，即 $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$ ，則 $A$ 稱為共軛對稱矩陣或 Hermitian 矩陣 (見“特殊矩陣 (9)：Hermitian 矩陣”)。見下例，

$A=\begin{bmatrix} 1&1+2i&-3i\\ 1-2i&2&4+i\\ 3i&4-i&3 \end{bmatrix},~~B=\begin{bmatrix} 1&1+2i&-3i\\ 1+2i&2i&4+i\\ -3i&4+i&3-2i \end{bmatrix}$ 。

目視可以確定 $A$ 是 Hermitian 矩陣，但不是對稱矩陣。相反的， $B$ 是對稱矩陣，但不是 Hermitian 矩陣。Hermitian 矩陣的主對角元必是實數，因為 $a_{jj}=\overline{a_{jj}}$ ，但對稱矩陣的主對角元則未必是實數。給定矩陣 $A$ ，如何「製造」對稱矩陣和 Hermitian 矩陣？透過矩陣加法與乘法即可，如下：(1) $A+A^T$ 是對稱矩陣， $A+A^{\ast}$ 是 Hermitian 矩陣；(2) $A^TA$ 與 $AA^T$ 是對稱矩陣， $A^{\ast}A$ 與 $AA^\ast$ 是 Hermitian 矩陣。實對稱矩陣 (實矩陣且對稱) 與 Hermitian 矩陣可謂現今最具實用價值的特殊矩陣 (見“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”)，這是我們定義矩陣轉置與共軛轉置的主要動機。最後列舉轉置矩陣所界定的一些特殊矩陣：

對稱矩陣： $A^T=A$
反對稱矩陣： $A^T=-A$
Hermitian 矩陣： $A^T=\overline{A}$ (或 $A^\ast=A$ )
Skew-Hermitian 矩陣： $A^T=-\overline{A}$ (或 $A^\ast=-A$ )
正交 (orthogonal) 矩陣： $A^T=A^{-1}$
么正 (unitary) 矩陣： $A^T=\overline{A}^{-1}$ (或 $A^\ast=A^{-1}$ )

3 Responses to 轉置與共軛轉置

Watt Lin says:

02/27/2013 at 3:35 pm

如果這篇文章提到「虛數」的 i ，採用特別字型符號，像是Mathematica軟體，用粗體鏤空小寫i表達虛數，閱讀的感覺會更好。
(但是Mathematica輸入過程可用大寫 I 當作虛數單位，初學者或許會與單位矩陣 I 混淆。)
我沒有混淆，但初學者看到老師這篇文章，i與j可代表row與column位置，i又當作虛數單位，會不會少數人在腦子裡有一種奇怪的感覺？
也許不會，但是，以認知心理的觀點，虛數的 i，與足標的 i，在印刷時，若能作顯著之區分，整體感受會更好。
我推測，大多數人看到老師這篇文章，不致於發生混淆，但仍想表達個人淺見。
我看的書不多，不知國內外教科書，有沒有哪些已經注意到這種小細節？
大概很少學生提這種問題，若是問了，老師可能會回答：「很容易判斷，哪個是虛數，哪個是足標，明顯可以區別。」
未來的教科書，如果希望帶給讀者清晰的觀念，可能要認真考慮，同一篇文章裡，避免以完全相同形狀的符號去表達兩種不同的事物。
或許不容易達到，若要提升教學品質，值得深思！
假設教育部有通盤規劃，幫助學生在數學、物理、化學等科目，常用的符號，儘量代表單一含義，在跨科目之間也不混淆，那麼對於整體科學教育，應該能夠大幅改善。(我知道，短時間內，不易達成。)

- ccjou says:
  
  02/27/2013 at 4:22 pm
  
  虛數符號確實容易產生混淆。目前多數書本採用小寫斜體 $i$ 或 $j$ 來表示虛數，但首次出現時會立刻在後面補充 $i=\sqrt{-1}$ 。在我印象中，僅見過 Carl Meyer 的線代課本 (http://www.matrixanalysis.com/Chapter7.pdf, pp 556) 刻意採用羅馬字型 $\mathrm{i}$ 來代表虛數，譬如， $2+\mathrm{i}3$ 。就增進符號的可讀性而言，近代的數學課本其實比過去好很多。在1960年代，很多作者用小寫斜體字母表示向量(如 $x$ )，所以讀到 $\alpha x$ ，讀者必須自行判斷 $\alpha$ 是純量， $x$ 是向量。甚至到今天，那些專為數學系學生寫的課本（如 Friedberg等三人的Linear Algebra, 4th edition）仍使用 $Ax=b$ 。不得不說，數學家們似乎不怎麼關心「友善易讀」這件事。
  
  - Watt Lin says:
    
    02/27/2013 at 4:54 pm
    
    排版過程，用不同字型，區分不同含義的符號，可看出編者用心為使用者設想。
    但是在網路寫部落格，好像仍然存在一些技術上的困難。
    如果找到方便而有效率的方法，達成改善，其他網站跟著改善，將會是學生之福。

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