每週問題 March 4, 2013

這是關於實正交投影矩陣的界定問題。

Let $P$ be an $n\times n$ real matrix. If $P=P^2=P^T$ , show that $P$ is an orthogonal projection matrix, i.e., $P\mathbf{x}=\mathbf{x}$ for every $\mathbf{x}\in C(P)$ and $(\mathbf{y}-P\mathbf{y})\in C(P)^{\perp}$ for every $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$ . Note that $C(P)$ denotes the column space of $P$ .

參考解答：

對於每一 $\mathbf{x}\in C(P)$ ，必定存在 $\mathbf{z}\in\mathbb{R}^n$ 使得 $\mathbf{x}=P\mathbf{z}$ 。等號兩邊同時左乘 $P$ ，可得 $P\mathbf{x}=P^2\mathbf{z}=P\mathbf{z}=\mathbf{x}$ 。對於任意 $\mathbf{y},\mathbf{z}\in\mathbb{R}^n$ ，計算

$\begin{aligned} (\mathbf{y}-P\mathbf{y})^T(P\mathbf{z})&=((I-P)\mathbf{y})^TP\mathbf{z} =\mathbf{y}^T(I-P)^TP\mathbf{z}\\ &=\mathbf{y}^T(I-P)P\mathbf{z}=\mathbf{y}^T(P-P^2)\mathbf{z}=0,\end{aligned}$

故知 $(\mathbf{y}-P\mathbf{y})\in C(P)^{\perp}$ 。

PowSol-March-4-13

Leave a Reply Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	陳倍恩 on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	輕鬆談如何教學二項式定理？… on 牛頓的二項式定理 (上)
	madhouse on 高斯消去法
	WishMobile on 翻轉 LU 分解
	周子傑 on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件
	Cloud Huang on 線性泛函與伴隨