等差級數和公式的無言證明

大概每一個人都聽說過德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 計算等差級數和的故事[1]。高斯十歲時,他的算術老師為了讓教室裡的小朋友安靜下來,靈機一動,便要求學生們計算 1+2+3+\cdots+100,並且聲明算對的人就可先回家。不一會功夫,高斯走向老師,將他的小黑板放在講桌上。沒有任何算式,小黑板上寫著:5050。訝異的老師請高斯解釋答案從何而來,他說:「我發現數列存在這個模式 1+100=1012+99=1013+98=101,以此類推直到 50+51=101。因為共有 50 組數對,總和必定是 50\times 101=5050。」今天的國中學生都知道下列等差級數和公式:對於每一正整數 n

\displaystyle  1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

這個公式有許多種證法,下圖是我最喜歡的一個「無言」證明[2]

Proofs without words

等差級數和公式的無言證明

 
提示:\displaystyle \binom{n+1}{2}=\frac{(n+1)n}{2}

 
參考來源:
[1] http://mathtext.project.edu.tw/download/pdf/8b/98-text_8b_c01.pdf
[2] Loren C. Larson, A discrete look at 1+2+…+n, College Mathematics Journal, Vol. 16, pp 369-382, 1985.

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10 則回應給 等差級數和公式的無言證明

  1. 張盛東 說道:

    這個證明方法真的很妙,我也看了1分鐘才看懂。
    對了,給老師些關於老師您的講義本的建議。我覺得如果老師在講義本中加入些線性代數應用的,比如老師這個網站上關於馬可夫鏈的文章,閱讀起來會更有趣味。
    另外,希望老師多寫些關於數值線性代數的文章。現在我正學習數值線性代數,被數值穩定性這一節搞得昏頭轉向。

    • ccjou 說道:

      你說的是教學光碟附贈的講義本嗎?這個講義本是按照授課內容編寫的,因此沒有加入其他材料。不過我倒是可以在本站的「線性代數教學光碟延伸閱讀」添加與主題有關的應用連結。

      如果你願意提供數值線性代數的討論主題,我可以針對該主題撰文。只是最近工作比較忙,發文的速度會稍緩一些。

      • 張盛東 說道:

        如果老師有空希望老師可以討論一下數值線性代數中的stability和backward stability.

        Trefethen的Numerical Linear Algebra有兩句話特別令我費解:
        A stable algorithm gives nearly the right answer to nearly the right question.

        A backward stable algorithm gives exactly the right answer to nearly the right question.

        請問老師,如何理解這兩句話?

        • ccjou 說道:

          好的,我去把這本書找來看看。這裡先給一個字面上的解釋:problem 可以想成 y=f(x),其中 x 是給定的輸入,f 是問題,y 是解。例如,求解 Ax=b 就是 x=f(A,b),計算特徵值則是 \lambda=f(A)。一個穩定的算法,表示為 \tilde{f},是說對於幾乎是正確的問題輸入 \tilde{x},可以得到幾乎是正確的答案 \tilde{f}(\tilde{x}),也就是
          \Vert \tilde{x}-x\Vert/\Vert x\Vert=O(\epsilon)\Rightarrow\Vert f(\tilde{x})-\tilde{f}(x)\Vert/\Vert f(x)\Vert=O(\epsilon)
          你的疑問是「為甚麼要這樣定義?」是吧?

          • 張盛東 說道:

            是的。其實應該說這個定義不是太直觀(對我而言,資質愚鈍,慚愧),希望老師給個具體例子說明一下這兩句話的深意。

          • 張盛東 說道:

            而且實際上我們通常知道\tilde{f}(\tilde{x})f(x). 比如求f(x)=\cos(x)x=\pi/2的值,因為\pi不能在計算機中精確表示,所以只知道\tilde{x},因此有\tilde{\cos}\tilde{x}。我的疑問就是我們應該分析\Vert \tilde{\cos}\tilde{x} - \cos(x) \Vert 而不是像定義式那樣。

  2. 12345 說道:

    這個無言的證明看了很久,還是搞不清楚。

    • 張盛東 說道:

      我的理解就是:最後一列任意一個組合(combination)都與上面的唯一一個球對應,所以最後一列球的組合的總數就是上面所有球的總數(不含最後一列),也就是1+2+…+n-1 = ( n choose 2)。 若要求前n項和,結果就是(n+1 choose 2).。
      個人理解,希望對您有幫助。

    • ccjou 說道:

      每一個藍色球對應最底列的二個橘色球 (如圖所示之正三角形頂點位置),而且它們之間具有「一對一」的對應關係,也就是說,任二個橘色球對應唯一一個藍色球。

      哈,有人比我搶快回答了,謝謝!

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