每週問題 March 25, 2013

本週問題是計算一特殊形態矩陣的秩。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n matrix with a_{ij}=x_i+y_j. Show that \mathrm{rank}A\le 2.

 
參考解答:

X=\begin{bmatrix}  x_1&1\\  x_2&1\\  \vdots&\vdots\\  x_n&1  \end{bmatrix},~~Y=\begin{bmatrix}  1&1&\cdots&1\\  y_1&y_2&\cdots&y_n  \end{bmatrix}

所以,A=XY,也就有 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(XY)\le\min\{\mathrm{rank}X,\mathrm{rank}Y\}。但 \mathrm{rank}X\le 2\mathrm{rank}Y\le 2,即得證。

PowSol-March-25-13

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