每週問題 April 1, 2013

這是關於反對稱矩陣的證明問題。

A real matrix A is said to be skew-symmetric if A^T=-A. If A is a real skew-symmetric matrix, show that A^2 is symmetric negative semidefinite matrix.

 
參考解答:

計算 (A^2)^T=(A^T)^2=(-A)^2=A^2,可知 A^2 是對稱矩陣。對於任一非零向量 \mathbf{x}

\mathbf{x}^TA^2\mathbf{x}=-\mathbf{x}^TA^TA\mathbf{x}=-(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{x})=-\Vert A\mathbf{x}\Vert^2\le 0

故證明 A^2 是一半負定矩陣。

PowSol-April-1-13

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