答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題

網友npes_87184留言:

線性變換 T 的定義域與到達域都是向量空間 \mathcal{V},且 {\boldsymbol{\beta}}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}{\boldsymbol{\gamma}}=\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\}\mathcal{V} 的兩組基底。如果我知道 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}},有辦法求得 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}

 
答曰:

我先解釋符號 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 的意義。基底 {\boldsymbol{\beta}} 的每一個向量 \mathbf{v}_jT 映射而得的像 T(\mathbf{v}_j) 可唯一表示成 \{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\} 的線性組合:

T(\mathbf{v}_j)=p_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+p_{nj}\mathbf{w}_n,~~j=1,\ldots,n

換一個說法,T(\mathbf{v}_j) 參考基底 {\boldsymbol{\gamma}} 的座標向量是

\begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_j)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  p_{1j}\\  \vdots\\  p_{nj}  \end{bmatrix},~~j=1,\ldots,n

將這些座標向量 (依序) 合併成一個 n\times n 階矩陣,記作 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} (或 ~_{\boldsymbol{\gamma}}\!\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}),稱為線性變換 T 參考基底 {\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\gamma}} 的表示矩陣 (見“基底變換”),如下:

\begin{bmatrix}  T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_1)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}&\cdots&\begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_n)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  p_{11}&\cdots&p_{1n}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  p_{n1}&\cdots&p_{nn}  \end{bmatrix}

線性變換表示矩陣 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 的下標 {\boldsymbol{\beta}} 是定義域的基底,上標 {\boldsymbol{\gamma}} 是到達域的基底。同樣地,若

T(\mathbf{w}_j)=q_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+q_{nj}\mathbf{v}_n,~~j=1,\ldots,n

T 參考基底 {\boldsymbol{\gamma}}{\boldsymbol{\beta}} 的表示矩陣是

\begin{bmatrix}  T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T(\mathbf{w}_1)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} &\cdots&\begin{bmatrix}  T(\mathbf{w}_n)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  q_{11}&\cdots&q_{1n}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  q_{n1}&\cdots&q_{nn}  \end{bmatrix}

 
參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 彼此如何轉換?關鍵在於基底 {\boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\gamma}} 的座標變換。令

\mathbf{v}_j=a_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+a_{nj}\mathbf{w}_n,~~j=1,\ldots,n,

\mathbf{w}_j=b_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+b_{nj}\mathbf{v}_n,~~j=1,\ldots,n

I:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為單位變換,即每一 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 皆有 I(\mathbf{x})=\mathbf{x}。根據上述定義,以 I 替換 T,可得座標變換矩陣

\begin{bmatrix}  I\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  I(\mathbf{v}_1)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}&\cdots&\begin{bmatrix}  I(\mathbf{v}_n)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  [\mathbf{v}_1]_{\boldsymbol{\gamma}} &\cdots&[\mathbf{v}_n]_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  a_{11}&\cdots&a_{1n}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  a_{n1}&\cdots&a_{nn}  \end{bmatrix}

同樣地,

\begin{bmatrix}  I\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  I(\mathbf{w}_1)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} &\cdots&\begin{bmatrix}  I(\mathbf{w}_n)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  [\mathbf{w}_1]_{\boldsymbol{\beta}} &\cdots&[\mathbf{w}_n]_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  b_{11}&\cdots&b_{1n}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  b_{n1}&\cdots&b_{nn}  \end{bmatrix}

特別要注意的是 \begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=I_n,其中 I_nn\times n 階單位矩陣。原因如下:

\displaystyle  \mathbf{w}_j=\sum_{k=1}^nb_{kj}\mathbf{v}_k=\sum_{k=1}^nb_{kj}\sum_{i=1}^na_{ik}\mathbf{w}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\right)\mathbf{w}_i

比較等號兩邊的係數,

\displaystyle  \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}=\left\{\begin{array}{ll}  1,&i=j\\  0,&i\neq j.  \end{array}\right.

接下來,設法將 T(\mathbf{v}_j) 表示成 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 的線性組合。第一個解法先變換基底,再執行 T 映射:

\displaystyle  T(\mathbf{v}_j)=T\left(\sum_{k=1}^na_{kj}\mathbf{w}_j\right)=\sum_{k=1}^na_{kj}T(\mathbf{w}_k)=\sum_{k=1}^na_{kj}\sum_{i=1}^nq_{ik}\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^nq_{ik}a_{kj}\right)\mathbf{v}_i

第二個解法先執行 T 映射,再變換基底:

\displaystyle  T(\mathbf{v}_j)=\sum_{k=1}^np_{kj}\mathbf{w}_k=\sum_{k=1}^np_{kj}\sum_{i=1}^nb_{ik}\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^nb_{ik}p_{kj}\right)\mathbf{v}_i

比較上面兩式的組合權重,可得

\displaystyle  \sum_{k=1}^nq_{ik}a_{kj}=\sum_{k=1}^nb_{ik}p_{kj},~~i,j=1,\ldots,n

因為 \begin{bmatrix}T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=[p_{ij}]\begin{bmatrix}T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=[q_{ij}]\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=[a_{ij}]\begin{bmatrix}  I\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=[b_{ij}],上式可用矩陣乘法表示為

\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}

等號兩邊同時右乘 \begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}},即得

\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}

我們發現 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 並不具備相似關係,這解釋了何以多數的線性代數教本未採用這種參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣。

 
下面介紹簡易的圖解推導方式 (見“圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣”)。令 \begin{bmatrix}  \cdot  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 代表從 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 至座標向量 \begin{bmatrix}  \mathbf{x}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 的座標映射 (見“啊哈!原來變換矩陣這麼簡單”)。線性變換 T 和表示矩陣 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 的關係可用下圖表示:

關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題1

推導步驟完全使用線性變換性質。令 \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n。將上式代入計算 T(\mathbf{x}),可得

\displaystyle  T(\mathbf{x})=T\left(\sum_{j=1}^nc_j\mathbf{v}_j\right)=\sum_{j=1}^nc_jT(\mathbf{v}_j)=\sum_{j=1}^nc_j\sum_{i=1}^np_{ij}\mathbf{w}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^np_{ij}c_j\right)\mathbf{w}_i

所以,

\displaystyle  \begin{bmatrix}  T(\mathbf{x})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  \sum_{j=1}^np_{1j}c_j\\  \vdots\\  \sum_{j=1}^np_{nj}c_j  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  p_{11}&\cdots&p_{1n}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  p_{n1}&\cdots&p_{nn}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_1\\  \vdots\\  c_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}

同樣地,線性變換 T 和表示矩陣 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 的關係可表示為

關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題2

將兩圖合併成一圖,並增添座標變換 \begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}},如下:

關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題3

比較從 \begin{bmatrix}  \mathbf{x}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T(\mathbf{x})  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 的兩條等價路徑,立得

\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}

 
最後補充說明 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} 之間的轉換關係。這裡 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\equiv\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}}T 參考 {\boldsymbol{\beta}} 的表示矩陣,\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\equiv\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\gamma}}T 參考 {\boldsymbol{\gamma}} 的表示矩陣。下圖顯示四個線性變換表示矩陣的映射路徑:

關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題4

從映射圖立刻可讀出下面的結果。

(1) \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 相似於 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}},即

\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}=\left(\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}

(2) \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 的轉換,如下:

\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\left(\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}

(3) \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} 的轉換,以及 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} 的轉換,如下:

\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}

\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}

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5 Responses to 答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題

  1. npes_87184 說道:

    感謝老師特地發文詳細解釋。
    關於旋轉矩陣,繞Y軸跟其他兩軸不一樣,是因為Y軸逆時鐘旋轉壓到XZ平面時,在XZ平面上變成順時鐘旋轉?
    Roll, Pitch 和 Yaw的。

  2. ccjou 說道:

    這是因為我們採用右手定則造成的差異。對z軸旋轉時,逆時針方向係從x至y,這與二維平面旋轉相同;對x軸旋轉時,逆時針方向係從y至z;但對y軸旋轉時,逆時針方向則從z至x,這個順序違反x-y-z的排序,故而造成符號的差異。

  3. Eric 說道:

    您好,討論區LaTeX不太會使用,故以圖片代之。
    http://ppt.cc/m~QP
    謝謝

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