答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題

Posted on 04/09/2013 by ccjou

網友npes_87184留言：

線性變換 T 的定義域與到達域都是向量空間 \mathcal{V}，且 {\boldsymbol{\beta}}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 和 {\boldsymbol{\gamma}}=\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\} 是 \mathcal{V} 的兩組基底。如果我知道 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}，有辦法求得 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}？

 
答曰：

我先解釋符號 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 和 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 的意義。基底 {\boldsymbol{\beta}} 的每一個向量 \mathbf{v}_j 經 T 映射而得的像 T(\mathbf{v}_j) 可唯一表示成 \{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\} 的線性組合：

T(\mathbf{v}_j)=p_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+p_{nj}\mathbf{w}_n,~~j=1,\ldots,n。

換一個說法，T(\mathbf{v}_j) 參考基底 {\boldsymbol{\gamma}} 的座標向量是

\begin{bmatrix} T(\mathbf{v}_j) \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} p_{1j}\\ \vdots\\ p_{nj} \end{bmatrix},~~j=1,\ldots,n。

將這些座標向量 (依序) 合併成一個 n\times n 階矩陣，記作 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} (或 ~_{\boldsymbol{\gamma}}\!\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}})，稱為線性變換 T 參考基底 {\boldsymbol{\beta}}—{\boldsymbol{\gamma}} 的表示矩陣 (見“基底變換”)，如下：

\begin{bmatrix} T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T(\mathbf{v}_1)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}&\cdots&\begin{bmatrix} T(\mathbf{v}_n)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p_{11}&\cdots&p_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ p_{n1}&\cdots&p_{nn} \end{bmatrix}。

線性變換表示矩陣 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 的下標 {\boldsymbol{\beta}} 是定義域的基底，上標 {\boldsymbol{\gamma}} 是到達域的基底。同樣地，若

T(\mathbf{w}_j)=q_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+q_{nj}\mathbf{v}_n,~~j=1,\ldots,n，

則 T 參考基底 {\boldsymbol{\gamma}}─{\boldsymbol{\beta}} 的表示矩陣是

\begin{bmatrix} T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T(\mathbf{w}_1)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} &\cdots&\begin{bmatrix} T(\mathbf{w}_n)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} q_{11}&\cdots&q_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ q_{n1}&\cdots&q_{nn} \end{bmatrix}。

 
參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 和 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 彼此如何轉換？關鍵在於基底 {\boldsymbol{\beta}} 和 {\boldsymbol{\gamma}} 的座標變換。令

\mathbf{v}_j=a_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+a_{nj}\mathbf{w}_n,~~j=1,\ldots,n,

且

\mathbf{w}_j=b_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+b_{nj}\mathbf{v}_n,~~j=1,\ldots,n。

設 I:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 為單位變換，即每一 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 皆有 I(\mathbf{x})=\mathbf{x}。根據上述定義，以 I 替換 T，可得座標變換矩陣

\begin{bmatrix} I\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} I(\mathbf{v}_1)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}&\cdots&\begin{bmatrix} I(\mathbf{v}_n)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} [\mathbf{v}_1]_{\boldsymbol{\gamma}} &\cdots&[\mathbf{v}_n]_{\boldsymbol{\gamma}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}。

同樣地，

\begin{bmatrix} I\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} I(\mathbf{w}_1)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} &\cdots&\begin{bmatrix} I(\mathbf{w}_n)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} [\mathbf{w}_1]_{\boldsymbol{\beta}} &\cdots&[\mathbf{w}_n]_{\boldsymbol{\beta}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_{11}&\cdots&b_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n1}&\cdots&b_{nn} \end{bmatrix}。

特別要注意的是 \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=I_n，其中 I_n 是 n\times n 階單位矩陣。原因如下：

\displaystyle \mathbf{w}_j=\sum_{k=1}^nb_{kj}\mathbf{v}_k=\sum_{k=1}^nb_{kj}\sum_{i=1}^na_{ik}\mathbf{w}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\right)\mathbf{w}_i，

比較等號兩邊的係數，

\displaystyle \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}=\left\{\begin{array}{ll} 1,&i=j\\ 0,&i\neq j. \end{array}\right.

接下來，設法將 T(\mathbf{v}_j) 表示成 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 的線性組合。第一個解法先變換基底，再執行 T 映射：

\displaystyle T(\mathbf{v}_j)=T\left(\sum_{k=1}^na_{kj}\mathbf{w}_j\right)=\sum_{k=1}^na_{kj}T(\mathbf{w}_k)=\sum_{k=1}^na_{kj}\sum_{i=1}^nq_{ik}\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^nq_{ik}a_{kj}\right)\mathbf{v}_i。

第二個解法先執行 T 映射，再變換基底：

\displaystyle T(\mathbf{v}_j)=\sum_{k=1}^np_{kj}\mathbf{w}_k=\sum_{k=1}^np_{kj}\sum_{i=1}^nb_{ik}\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^nb_{ik}p_{kj}\right)\mathbf{v}_i。

比較上面兩式的組合權重，可得

\displaystyle \sum_{k=1}^nq_{ik}a_{kj}=\sum_{k=1}^nb_{ik}p_{kj},~~i,j=1,\ldots,n。

因為 \begin{bmatrix}T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=[p_{ij}]，\begin{bmatrix}T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=[q_{ij}]，\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=[a_{ij}]，\begin{bmatrix} I\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=[b_{ij}]，上式可用矩陣乘法表示為

\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}。

等號兩邊同時右乘 \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}，即得

\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}。

我們發現 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 和 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 並不具備相似關係，這解釋了何以多數的線性代數教本未採用這種參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣。

 
下面介紹簡易的圖解推導方式 (見“圖解基底變換、座標變換、相似變換與相似矩陣”)。令 \begin{bmatrix} \cdot \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 代表從 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 至座標向量 \begin{bmatrix} \mathbf{x} \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 的座標映射 (見“啊哈！原來變換矩陣這麼簡單”)。線性變換 T 和表示矩陣 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 的關係可用下圖表示：

關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題1

推導步驟完全使用線性變換性質。令 \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n。將上式代入計算 T(\mathbf{x})，可得

\displaystyle T(\mathbf{x})=T\left(\sum_{j=1}^nc_j\mathbf{v}_j\right)=\sum_{j=1}^nc_jT(\mathbf{v}_j)=\sum_{j=1}^nc_j\sum_{i=1}^np_{ij}\mathbf{w}_i=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^np_{ij}c_j\right)\mathbf{w}_i。

所以，

\displaystyle \begin{bmatrix} T(\mathbf{x}) \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^np_{1j}c_j\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^np_{nj}c_j \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p_{11}&\cdots&p_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ p_{n1}&\cdots&p_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} \mathbf{x} \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}。

同樣地，線性變換 T 和表示矩陣 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 的關係可表示為

關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題2

將兩圖合併成一圖，並增添座標變換 \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}，如下：

關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題3

比較從 \begin{bmatrix} \mathbf{x} \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} 至 \begin{bmatrix} T(\mathbf{x}) \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 的兩條等價路徑，立得

\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}。

 
最後補充說明 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}，\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}，\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 和 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} 之間的轉換關係。這裡 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\equiv\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}} 是 T 參考 {\boldsymbol{\beta}} 的表示矩陣，\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\equiv\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\gamma}} 是 T 參考 {\boldsymbol{\gamma}} 的表示矩陣。下圖顯示四個線性變換表示矩陣的映射路徑：

關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題4

從映射圖立刻可讀出下面的結果。

(1) \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 相似於 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}，即

\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}=\left(\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}。

(2) \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 與 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 的轉換，如下：

\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\left(\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1}=\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}。

(3) \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}} 與 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 或 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} 的轉換，以及 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 與 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 或 \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}} 的轉換，如下：

\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}，

\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix} I \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}。

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5 Responses to 答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題

  1. npes_87184 says:
    04/09/2013 at 9:31 pm

    感謝老師特地發文詳細解釋。
    關於旋轉矩陣，繞Y軸跟其他兩軸不一樣，是因為Y軸逆時鐘旋轉壓到XZ平面時，在XZ平面上變成順時鐘旋轉？
    Roll, Pitch 和 Yaw的。

    Reply
  2. ccjou says:
    04/09/2013 at 10:04 pm

    這是因為我們採用右手定則造成的差異。對z軸旋轉時，逆時針方向係從x至y，這與二維平面旋轉相同；對x軸旋轉時，逆時針方向係從y至z；但對y軸旋轉時，逆時針方向則從z至x，這個順序違反x-y-z的排序，故而造成符號的差異。

    Reply
  3. Eric says:
    04/04/2014 at 2:07 pm

    您好，討論區LaTeX不太會使用，故以圖片代之。
    http://ppt.cc/m~QP
    謝謝

    Reply

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