每週問題 April 15, 2013

試證明任何方陣都可分解表示成兩個可逆矩陣之和。

Show that any n\times n matrix A is the sum of two invertible matrices.

 
參考解答:

\lambda_1,\ldots,\lambda_nA 的特徵值。考慮

\displaystyle  A=\frac{1}{2}(A+\mu I)+\frac{1}{2}(A-\mu I)

其中 \mu\neq\pm\lambda_jj=1,\ldots,n。因為 A\pm\mu I 有非零特徵值 \lambda_j\pm\muj=1,\ldots,n,故 A\pm\mu I 是可逆矩陣,即證得所求。

PowSol-April-15-13

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